WikiDer > Уравнения Дена – Соммервилля

Dehn–Sommerville equations

В математике Уравнения Дена – Соммервилля представляют собой полный набор линейных соотношений между количеством граней разной размерности симплициальный многогранник. Для многогранников размерности 4 и 5 они были найдены Макс Ден в 1905 г. Их общий вид был установлен Дункан Соммервилл в 1927 г. Уравнения Дена – Соммервилля можно переформулировать как условие симметрии час-вектор симплициального многогранника, и это стало стандартной формулировкой в ​​недавней литературе по комбинаторике. По двойственности аналогичные уравнения верны для простые многогранники.

Заявление

Позволять п быть d-размерный симплициальный многогранник. За я = 0, 1, ..., d - 1, пусть жя обозначить количество я-размерный лица из п. Последовательность

называется ж-вектор многогранника п. Дополнительно установите

Тогда для любого k = −1, 0, ..., d - 2, следующие Уравнение Дена – Соммервилля держит:

Когда k = −1, он выражает тот факт, что Эйлерова характеристика из (d - 1) -мерный симплициальная сфера равно 1 + (−1)d − 1.

Уравнения Дена – Соммервилля с разными k не независимы. Есть несколько способов выбрать максимальное независимое подмножество, состоящее из уравнения. Если d даже тогда уравнения с k = 0, 2, 4, ..., d - 2 независимые. Другой независимый набор состоит из уравнений с k = −1, 1, 3, ..., d - 3. Если d нечетно, то уравнения с k = −1, 1, 3, ..., d - 2 образуют одну независимую систему и уравнения с k = −1, 0, 2, 4, ..., d - 3 образуют еще один.

Эквивалентные составы

Соммервилль нашел другой способ сформулировать эти уравнения:

где 0 ≤ k ≤12(d − 1). Это можно еще больше облегчить, введя понятие час-вектор п. За k = 0, 1, ..., d, позволять

Последовательность

называется час-вектор из п. В ж-вектор и час-векторы однозначно определяют друг друга через соотношение

Тогда уравнения Дена – Соммервилля можно переформулировать просто как

Уравнения с 0 ≤ k ≤12(d − 1) независимы, а остальные явно им эквивалентны.

Ричард Стэнли дал интерпретацию компонентов час-вектор симплициального выпуклого многогранника п с точки зрения проективный торическое разнообразие Икс связанный с (двойственным)п. А именно, это размеры четного когомологии пересечения группыИкс:

(странный когомологии пересечения группы Икс все равны нулю). На этом языке последняя форма уравнений Дена – Соммервилля, симметрия час-вектор, является проявлением Двойственность Пуанкаре в когомологиях пересеченияИкс.

Рекомендации

  • Бранко Грюнбаум, Выпуклые многогранники. Второе издание. Тексты для выпускников по математике, 221, Springer, 2003 г. ISBN 0-387-00424-6
  • Ричард Стэнли, Комбинаторика и коммутативная алгебра. Второе издание. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. x + 164 с. ISBN 0-8176-3836-9
  • Дункан Соммервилл (1927) Соотношения, связывающие суммы углов и объем многогранника в пространстве n измерений Труды Королевского общества Series A 115: 103–19, ссылка на сайт JSTOR.
  • Г. Зиглер, Лекции по многогранникам, Springer, 1998. ISBN 0-387-94365-X