WikiDer > Ковариация и корреляция

В теория вероятности и статистика, математические концепции ковариация и корреляция очень похожи.^[1][2] Оба описывают степень, в которой два случайные переменные или же наборы случайных величин склонны отклоняться от своих ожидаемые значения аналогичным образом.

Если Икс и Y две случайные величины, причем средства (ожидаемые значения) μ_Икс и μ_Y и стандартные отклонения σ_Икс и σ_Yсоответственно, то их ковариация и корреляция следующие:

ковариация	${ displaystyle { text {cov}} _ {XY} = sigma _ {XY} = E [(X- mu _ {X}) , (Y- mu _ {Y})]}$
корреляция	${ displaystyle { text {corr}} _ {XY} = rho _ {XY} = E [(X- mu _ {X}) , (Y- mu _ {Y})] / ( сигма _ {X} sigma _ {Y})}$,

так что

${ Displaystyle rho _ {XY} = sigma _ {XY} / ( sigma _ {X} sigma _ {Y})}$

куда E - оператор ожидаемого значения. Примечательно, что корреляция безразмерный в то время как ковариация выражается в единицах, полученных путем умножения единиц двух переменных.

Если Y всегда принимает те же значения, что и Икс, у нас есть ковариация переменной с самой собой (т.е. ${ displaystyle sigma _ {XX}}$), который называется отклонение и чаще обозначается как ${ displaystyle sigma _ {X} ^ {2},}$ площадь стандартное отклонение. В корреляция переменной с самой собой всегда равно 1 (кроме вырожденный случай где две дисперсии равны нулю, потому что Икс всегда принимает одно и то же единственное значение, и в этом случае корреляция не существует, так как ее вычисление будет включать деление на 0). В более общем смысле, корреляция между двумя переменными равна 1 (или –1), если одна из них всегда принимает значение, которое точно задается линейная функция другого с соответственно положительным (или отрицательным) склон.

Хотя значения теоретических ковариаций и корреляций связаны указанным выше образом, распределения вероятностей выборочные оценки эти количества никак не связаны между собой, и их обычно нужно рассматривать отдельно.

Несколько случайных величин

При любом количестве случайных величин, превышающем 1, переменные могут быть объединены в случайный вектор чей я ^th элемент - это я ^th случайная переменная. Тогда дисперсии и ковариации можно поместить в ковариационная матрица, в которой (я, j) элемент является ковариацией между я ^th случайная величина и j ^th один. Точно так же корреляции могут быть помещены в корреляционная матрица.

Анализ временных рядов

В случае Временные ряды который стационарный в широком смысле и средние, и дисперсии постоянны во времени (E (Икс_{п + м}) = E (Икс_п) = μ_Икс и var (Икс_{п + м}) = var (Икс_п) и аналогично для переменной Y). В этом случае кросс-ковариация и взаимная корреляция являются функциями разницы во времени:

кросс-ковариация	${ displaystyle sigma _ {XY} (m) = E [(X_ {n} - mu _ {X}) , (Y_ {n + m} - mu _ {Y})],}$
взаимная корреляция	${ Displaystyle rho _ {XY} (m) = E [(X_ {n} - mu _ {X}) , (Y_ {n + m} - mu _ {Y})] / ( sigma _ {X} sigma _ {Y}).}$

Если Y та же переменная, что и Икс, приведенные выше выражения называются автоковариация и автокорреляция:

автоковариация	${ displaystyle sigma _ {XX} (m) = E [(X_ {n} - mu _ {X}) , (X_ {n + m} - mu _ {X})],}$
автокорреляция	${ displaystyle rho _ {XX} (m) = E [(X_ {n} - mu _ {X}) , (X_ {n + m} - mu _ {X})] / ( sigma _ {X} ^ {2}).}$

Рекомендации

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Ковариация и корреляция» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Август 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)