WikiDer > Точка отсечки

Cut-point
«Шея» этой восьмерки - точка отсечения.

В топология, а точка отсечения это точка связанное пространство таким образом, что его удаление приводит к отключению образовавшегося пространства. Если удаление точки не приводит к отключению пробелов, эта точка называется точка без надреза.

Например, каждая точка линии является точкой разреза, а никакая точка окружности не является точкой разреза.

Точки разделения полезны, чтобы определить, являются ли два связанных пространства гомеоморфный путем подсчета количества точек разреза в каждом пространстве. Если два пространства имеют разное количество точек разреза, они не гомеоморфны. Классический пример - использование точек разреза, чтобы показать, что линии и окружности не гомеоморфны.

Точки разделения также полезны при характеристике топологический континуум, класс пространств, сочетающих в себе свойства компактность и связность и включать много знакомых пространств, таких как единичный интервал, круг и тор.

Определение

Формальные определения

Линия (отрезок) имеет бесконечно много точек разреза между двумя конечными точками. У круга нет точки разреза. Поскольку они имеют разное количество точек разреза, прямые не гомеоморфны окружностям.

А точка отсечения из связаны Т1 топологическое пространство Икс, это точка п в Икс такой, что Икс - {п} не подключается. Точка, которая не является точкой разреза, называется точка без надреза.

Непустое связное топологическое пространство X - это место разреза если каждая точка в X является точкой разреза X.

Основные примеры

  • А закрытый интервал [a, b] имеет бесконечно много точек разреза. Все точки, кроме его конечных точек, являются точками разреза, а конечные точки {a, b} не являются точками разреза.
  • An открытый интервал (a, b) также имеет бесконечно много точек разреза, как отрезки. Поскольку у открытых интервалов нет конечных точек, у них нет точек без разрезов.
  • Окружность не имеет точек разреза, и, следовательно, каждая точка круга не имеет разрезов.

Обозначения

  • А резка X - это множество {p, U, V}, где p - точка разреза X, U и V образуют разделение из X- {p}.
  • Также можно записать как X {p} = U | V.

Теоремы

Разрезанные точки и гомеоморфизмы

  • Точки разреза не обязательно сохраняются под непрерывные функции. Например: ж: [0, 2π] → р2, данный ж(Икс) = (cos Иксгрех Икс). Каждая точка интервала (кроме двух конечных точек) является точкой разреза, но f (x) образует окружность, не имеющую точек разреза.
  • Разрезанные точки сохраняются при гомеоморфизмах. Следовательно, точка разреза - это топологический инвариант.

Точки отсечения и континуумы

  • Каждый континуум (компактно связный Пространство Хаусдорфа) с более чем одной точкой имеет как минимум две неразрезанные точки. В частности, каждый открытый набор, который образует разделение результирующего пространства, содержит как минимум одну точку без разреза.
  • Каждый континуум с двумя точками без разреза гомеоморфен единичному интервалу.
  • Если K - континуум с точками a, b и K- {a, b} не связан, K гомеоморфен единичной окружности.

Топологические свойства пространств точек разреза

  • Пусть X - связное пространство и x - точка разреза в X, такая что X {x} = A | B. Тогда {x} либо открыто или же закрыто. если {x} открыт, A и B закрыты. Если {x} закрыт, A и B открыты.
  • Пусть X - пространство точек разреза. Множество замкнутых точек X бесконечно.

Неприводимые пространства точек разреза

Определения

Пространство точки разреза несводимый если его собственное подмножество не является пространством точки отсечения.

Халимская линия: Позволять - набор целых чисел и куда является основой топологии на . Халимская линия - это множество наделен этой топологией. Это точка отсечения. Более того, это несводимо.

Теорема

  • Топологическое пространство является неприводимым пространством точек разреза тогда и только тогда, когда X гомеоморфно прямой Халимского.

Смотрите также

Точка отсечки (теория графов)

Рекомендации

  • Хэтчер, Аллен, Примечания по вводной топологии точек, стр. 20–21
  • Honari, B .; Бахрампур, Ю. (1999), «Пространства точек разреза» (PDF), Труды Американского математического общества, 127 (9): 2797–2803, Дои:10.1090 / с0002-9939-99-04839-х
  • Уиллард, Стивен (2004). Общая топология. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. (Первоначально опубликовано компанией Addison-Wesley Publishing Company, Inc. в 1970 г.)