WikiDer > Теорема Де Гуаса - Википедия

De Guas theorem - Wikipedia

тетраэдр с прямым углом в O

Теорема де Гуа является трехмерным аналогом теорема Пифагора и назван в честь Жан Поль де Гуа де Мальв.

Если тетраэдр имеет прямой угол (как угол куб), то квадрат площади грани напротив прямого угла равен сумме квадратов площадей трех других граней.

{ displaystyle A_ {ABC} ^ {2} = A _ { color {blue} ABO} ^ {2} + A _ { color {green} ACO} ^ {2} + A _ { color {red} BCO} ^ {2}}

Обобщения

В теорема Пифагора и теорема де Гуа - частные случаи (п = 2, 3) общая теорема о п-симплексы с прямой угол угол. Это, в свою очередь, частный случай еще более общая теорема Дональда Р. Конанта и Уильяма А. Бейера,^[1] что можно сформулировать следующим образом.

Позволять U быть измеримый подмножество k-размерный аффинное подпространство из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ (так ${ Displaystyle к Leq п}$ ). Для любого подмножества ${ Displaystyle I substeq {1, ldots, п }}$ с точно k элементы, пусть ${ displaystyle U_ {I}}$ быть ортогональная проекция из U на линейный пролет из ${ displaystyle e_ {i_ {1}}, ldots, e_ {i_ {k}}}$ , куда ${ Displaystyle I = {i_ {1}, ldots, i_ {k} }}$ и ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$ это стандартная основа за ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . потом

{ displaystyle { mbox {vol}} _ {k} ^ {2} (U) = sum _ {I} { mbox {vol}} _ {k} ^ {2} (U_ {I}), }

куда ${ displaystyle { mbox {vol}} _ {k} (U)}$ это k-размерный объем из U и сумма берется по всем подмножествам ${ Displaystyle I substeq {1, ldots, п }}$ с точно k элементы.

Теорема Де Гуа и ее обобщение (см. Выше) на п-симплексы с прямыми углами соответствуют частному случаю, когда k = п−1 и U является (п−1) -симплекс в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ с вершинами на оси координат. Например, предположим п = 3, k = 2 и U это треугольник ${ Displaystyle треугольник ABC}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ с вершинами А, B и C лежа на ${ displaystyle x_ {1}}$ -, ${ displaystyle x_ {2}}$ - и ${ displaystyle x_ {3}}$ -axes соответственно. Подмножества ${ displaystyle I}$ из ${ displaystyle {1,2,3 }}$ с ровно 2 элементами ${ displaystyle {2,3 }}$ , ${ displaystyle {1,3 }}$ и ${ displaystyle {1,2 }}$ . По определению, ${ Displaystyle U _ { {2,3 }}}$ ортогональная проекция ${ Displaystyle U = треугольник ABC}$ на ${ displaystyle x_ {2} x_ {3}}$ -самолет, так что ${ Displaystyle U _ { {2,3 }}}$ это треугольник ${ Displaystyle треугольник OBC}$ с вершинами О, B и C, куда О это источник из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . По аналогии, ${ Displaystyle U _ { {1,3 }} = треугольник AOC}$ и ${ Displaystyle U _ { {1,2 }} = треугольник ABO}$ , поэтому теорема Конанта – Бейера говорит

{ Displaystyle { mbox {vol}} _ {2} ^ {2} ( треугольник ABC) = { mbox {vol}} _ {2} ^ {2} ( треугольник OBC) + { mbox {vol }} _ {2} ^ {2} ( треугольник AOC) + { mbox {vol}} _ {2} ^ {2} ( треугольник ABO),}

что является теоремой де Гуа.

Обобщение теоремы де Гуа на п-симплексы с прямыми углами также могут быть получены как частный случай из Формула детерминанта Кэли-Менгера .

История

Жан Поль де Гуа де Мальв (1713–1785) опубликовал теорему в 1783 году, но примерно в то же время другой французский математик опубликовал несколько более общую версию: Шарль де Тинсо д'Амонданс (1746–1818), а также. Однако теорема также была известна гораздо раньше. Иоганн Фаульхабер (1580–1635) и Рене Декарт (1596–1650).^[2]^[3]

Примечания

^ Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 81 (3): 262–265. Дои:10.2307/2319528. JSTOR 2319528.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Теорема де Гуа". MathWorld.
^ Ховард Уитли Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.). Математическая ассоциация Америки, 1983 г., ISBN 9780883853108, С. 37 (выдержка, п. 37, в Google Книги)

дальнейшее чтение

Хейфиц, Александр (2004). «Теорема косинусов для пирамид». Математический журнал колледжа. Математическая ассоциация Америки. 35 (5): 385–388. JSTOR 4146849. Доказательство теоремы де Гуа и обобщений на произвольные тетраэдры и пирамиды.
Леви-Леблон, Жан-Марк (2020). «Теорема косинусов для пирамид». Математический интеллект. SpringerLink. Применение теоремы де Гуа для доказательства частного случая Формула Герона.

[1] Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 81 (3): 262–265. Дои:10.2307/2319528. JSTOR 2319528.

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Теорема де Гуа". MathWorld.

[3] Ховард Уитли Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.). Математическая ассоциация Америки, 1983 г., ISBN 9780883853108, С. 37 (выдержка, п. 37, в Google Книги)

[1]

[2]

[3]

Navigation