WikiDer > Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

В математика то дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами является частью коммутативная алгебра на основе наблюдения, что большинство понятий, известных из классического дифференциала исчисление можно сформулировать в чисто алгебраических терминах. Примеры этого:

1. Вся топологическая информация гладкое многообразие ${displaystyle M}$ закодировано в алгебраических свойствах его ${displaystyle mathbb {R}}$-алгебра гладких функций ${displaystyle A = C ^ {infty} (M),}$ как в Теорема Банаха – Стоуна.
2. Векторные пучки над ${displaystyle M}$ соответствуют проективным конечно порожденным модули над ${displaystyle A}$, через функтор ${displaystyle Gamma}$ которое ставит в соответствие векторному расслоению его модуль секций.
3. Векторные поля на ${displaystyle M}$ естественно отождествляются с производные алгебры ${displaystyle A}$.
4. В более общем плане линейный дифференциальный оператор порядка k, отправляя разделы векторного расслоения ${displaystyle Eightarrow M}$ в разделы другого пакета ${displaystyle Fightarrow M}$ рассматривается как ${displaystyle mathbb {R}}$-линейная карта ${displaystyle Delta: Gamma (E) ightarrow Gamma (F)}$ между связанными модулями, так что для любого k + 1 элемент ${displaystyle f_ {0}, ldots, f_ {k} in A}$:

${displaystyle [f_ {k} [f_ {k-1} [cdots [f_ {0}, Delta] cdots]] = 0}$

где скобка ${displaystyle [f, Delta]: Gamma (E) ightarrow Gamma (F)}$ определяется как коммутатор

${displaystyle [f, Delta] (s) = Delta (fcdot s) -fcdot Delta (s).}$

Обозначая набор kлинейные дифференциальные операторы порядка из ${displaystyle A}$-модуль ${displaystyle P}$ для ${displaystyle A}$-модуль ${displaystyle Q}$ с ${displaystyle mathrm {Diff} _ {k} (P, Q)}$ мы получаем бифунктор со значениями в категория из ${displaystyle A}$-модули. Другие естественные концепции исчисления, такие как реактивные пространства, дифференциальные формы тогда получаются как представляющие объекты функторов ${displaystyle mathrm {Diff} _ {k}}$ и связанные с ними функторы.

С этой точки зрения исчисление может фактически пониматься как теория этих функторов и представляющих их объектов.

Замена действительных чисел ${displaystyle mathbb {R}}$ с любым коммутативное кольцо, а алгебра ${displaystyle C ^ {infty} (M)}$ для любой коммутативной алгебры сказанное выше остается значимым, поэтому дифференциальное исчисление может быть развито для произвольных коммутативных алгебр. Многие из этих концепций широко используются в алгебраическая геометрия, дифференциальная геометрия и вторичный камень. Более того, теория естественным образом обобщается на градуированная коммутативная алгебра, что позволяет заложить естественную основу исчисления на супермногообразия, градуированные многообразия и связанные концепции, такие как Березин интеграл.

Смотрите также

• Дифференциальная алгебра

Рекомендации

• Ж. Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые, Тексты для выпускников по математике 220, Springer, 2002.
• И. С. Красильщик, "Лекции о линейных дифференциальных операторах над коммутативными алгебрами". Eprint ДИПС-01/99.
• Красильщик И.С., Виноградов А.М. (ред.) "Алгебраические аспекты дифференциального исчисления", Acta Appl. Математика. 49 (1997), Eprints: ДИПС-01/96, ДИПС-02/96, ДИПС-03/96, ДИПС-04/96, ДИПС-05/96, ДИПС-06/96, ДИПС-07/96, ДИПС-08/96.
• Красильщик И.С., Вербовецкий А.М. Гомологические методы в уравнениях математической физики. Откройте Ed. и науки, Опава (Чешская Республика), 1998 г .; Eprint arXiv: math / 9808130v2.
• Г. Сарданашвили, Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец, Lambert Academic Publishing, 2012; Eprint arXiv: 0910.1515 [math-ph] 137 страниц.
• Виноградов А.М. "Логическая алгебра для теории линейных дифференциальных операторов", Докл. Акад. АН СССР, 295(5) (1972) 1025-1028; Английский пер. в Советская математика. Докл. 13(4) (1972), 1058-1062.
• Виноградов А.М. Когомологический анализ дифференциальных уравнений с частными производными и вторичное исчисление. Серия AMS: Переводы математической монографии. 204, 2001.
• Виноградов А. М. Некоторые новые гомологические системы, связанные с дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами, УМН, 1979. 34 (6), 145-150; англ. в Русская математика. Обзоры, 34(6) (1979), 250-255.