WikiDer > Градуированный коллектор - Википедия

Graded manifold - Wikipedia

В алгебраическая геометрия, Градуированные многообразия являются расширением концепции коллекторы на основе идей, исходящих от суперсимметрия и суперкоммутативная алгебра. И градуированные многообразия, и супермногообразия формулируются в терминах снопы из градуированные коммутативные алгебры. Однако градуированные многообразия характеризуются пучками на гладкие многообразия, а супермногообразия строятся склейкой пучков супервекторные пространства.

Градуированные многообразия

А градуированный коллектор измерения определяется как локально окольцованное пространство куда является -размерный гладкое многообразие и это -пучок Алгебры Грассмана ранга куда - пучок гладких вещественных функций на . Связка называется структурным пучком градуированного многообразия , а многообразие считается телом . Сечения связки называются градуированными функциями на градуированном многообразии . Они составляют ступенчатую коммутативную -звенеть называется структурным кольцом . Известная теорема Бэтчелора и Теорема Серра-Свана характеризуют градуированные многообразия следующим образом.

Теорема Серра-Свана для градуированных многообразий

Позволять быть градуированным многообразием. Существует векторный набор с -размерное типичное волокно такой, что структурный пучок из изоморфна структурному пучку сечений внешний продукт из , типичным волокном которого является Алгебра грассмана .

Позволять - гладкое многообразие. Градуированный коммутатив -алгебра изоморфна структурному кольцу градуированного многообразия с телом если и только если это внешняя алгебра некоторых проективных -модуль конечного ранга.

Градуированные функции

Обратите внимание, что вышеупомянутый изоморфизм Бэтчелора не может быть каноническим, но часто фиксируется с самого начала. В этом случае каждая карта тривиализации векторного расслоения дает область расщепления градуированного многообразия , куда волокнистая основа для . Градуированные функции на такой диаграмме -значные функции

,

куда - гладкие вещественные функции на и - нечетные образующие элементы алгебры Грассмана .

Градуированные векторные поля

Учитывая градуированное многообразие , градуированные производные структурного кольца градуированных функций называются градуированными векторными полями на . Они представляют собой настоящую Супералгебра Ли с уважением к суперкронштейн

,

куда обозначает грассманову четность . Локальное чтение градуированных векторных полей

.

Они действуют на градуированные функции по правилу

.

Градуированные внешние формы

В -двойка модульных градуированных векторных полей называется модулем градуированных внешних одноформ . Оценка экстерьера одной формы на местном уровне так что двойственность (внутреннее) произведение между и принимает форму

.

Поставляется с дифференцированным внешним продуктом

,

градуированные одноформы порождают градуированную внешнюю алгебру градуированных внешних форм на градуированном многообразии. Они подчиняются отношению

,

куда обозначает степень формы . Градуированная внешняя алгебра является градуированной дифференциальной алгеброй относительно градуированного внешнего дифференциала

,

где градуированные выводы , градуированы, коммутативны с градуированными формами и . Есть знакомые отношения

.

Градуированная дифференциальная геометрия

В категории градуированных многообразий рассматриваются градуированные группы Ли, градуированные расслоения и градуированные главные расслоения. Также вводится понятие струи градуированных многообразий, но они отличаются от струй градуированных пучков.

Градуированное дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление на градуированных многообразиях формулируется как дифференциальное исчисление над градуированные коммутативные алгебры аналогично дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами.

Физический результат

В силу упомянутой выше теоремы Серра-Свана нечетные классические поля на гладком многообразии описываются в терминах градуированных многообразий. В расширении до градуированных многообразий вариационный бикомплекс обеспечивает строгую математическую формулировку лагранжиана классическая теория поля и лагранжиан Теория БРСТ.

Смотрите также

Рекомендации

  • К. Барточчи, У. Бруццо, Д. Эрнандес Руйперес, Геометрия супермногообразия. (Клувер, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
  • Т. Ставраку, Теория связности на градуированных главных расслоениях, Rev. Math. Phys. 10 (1998) 47
  • Костант Б. Градуированные многообразия, градуированная теория Ли и предквантование. Дифференциально-геометрические методы в математической физике, Конспект лекций по математике 570 (Springer, 1977) стр. 177
  • Алморокс А. Суперкалибровочные теории в градуированных многообразиях. Дифференциально-геометрические методы в математической физике, Конспект лекций по математике 1251 (Springer, 1987) стр. 114
  • Д. Эрнандес Руйперес, Дж. Муньос Маск, Глобальное вариационное исчисление на градуированных многообразиях, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
  • Дж. Джакетта, Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили, Продвинутая классическая теория поля (World Scientific, 2009 г.) ISBN 978-981-283-895-7; arXiv:math-ph / 0102016; arXiv:1304.1371.

внешняя ссылка