WikiDer > Diskontinuität

Eine Funktion ist diskontinuierlich in einem Punkt, wenn die Funktion nicht da ist kontinuierlich ist. Intuitiv bedeutet dies, dass die Funktion dort nicht in einer glatten Linie gezeichnet werden kann: es gibt beispielsweise eine Lücke oder einen Sprung. Eine mathematischere Beschreibung finden Sie im Artikel über Kontinuität.

Einstufung

Je nach Art der Diskontinuität können wir sie wie folgt klassifizieren.

Eine abrufbare Diskontinuität

Widerrufbare Unterbrechung

An einer widerrufliche Unterbrechung die Funktion ist nicht in einem Punkt definiert, aber ihr linker Grenzwert ist gleich dem rechten Grenzwert. Die Funktion kann stetig gemacht werden, indem der Funktionswert im betreffenden Punkt mit seinem Grenzwert gleichgesetzt wird.

Beispiel

${displaystyle f(x)=left{{ egin{matrix}x^{2}&{mbox{ if }}x<1/2-x&{mbox{ if }}x>1end{matrix}}ight.}$

Die Diskontinuität in x = 1 kann storniert werden bis f(1) = 1 zu setzen.

Eine Sprungunstetigkeit

Sprungunstetigkeit

An einer Sprungunstetigkeit Es gibt linke und rechte Grenzen, aber sie sind unterschiedlich.

Beispiel

${displaystyle f(x)=left{{ egin{matrix}x^{2}&{mbox{ if }}x<1/2-(x-1)^{2}&{mbox{ if }}x> 1Ende{array}}Nacht.}$

Jetzt ist drin x = 1 es eine Sprungunstetigkeit gibt, kann diese beseitigt werden, indem das 'größer als' oder 'kleiner als' in 1 der Gleichungen in 'größer oder gleich' bzw. 'kleiner oder gleich' geändert wird

Eine wesentliche Diskontinuität

Wesentliche Diskontinuität

An einer wesentliche Diskontinuität linke und/oder rechte Grenzen existieren nicht oder sind unendlich.

Beispiel

${displaystyle f(x)=left{{ egin{matrix}sin {frac {5}{x-1}}&{mbox{ if }}x<1/&/{frac {0.1}{x-1}} &{mbox{ if }}x>1end{array}}ight.}$

Im x = 1 es gibt jetzt eine wesentliche Diskontinuität: die linke Grenze existiert nicht und die rechte Grenze ist unendlich. Beachten Sie, dass einer von beiden ausreichte, um von einer wesentlichen Diskontinuität zu sprechen.

Diskontinuierlich in Intervallen

Die meisten Funktionen sind an bestimmten Stellen diskontinuierlich, wie in den obigen Beispielen. Einige Funktionen sind jedoch über Intervall diskontinuierlich.

Ein bekanntes Beispiel ist die Dirichlet-Funktion. Diese Funktion ist in jedem Element ihres Definitionsbereichs ${displaystyle mathbb {R} }$ unstetig, weil zwischen zwei rationalen Zahlen immer eine irrationale Zahl liegt und umgekehrt:

${displaystyle f(x)={ egin{cases}1&{mbox{ if }}xin mathbb {Q} /0&{mbox{ if }}xot in mathbb {Q} end{cases}}}$

Beispiele

• Heaviside-Funktion
• Entier
• Tangente

Andere Terminologie

Außerhalb der Mathematik wird eine Diskontinuität oder strikte Trennung zu einem harter Schnitt erwähnt.