WikiDer > Дискретная категория - Википедия

В математика, в области теория категорий, а дискретная категория это категория, единственная морфизмы являются морфизмы идентичности:

хом_C(Икс, Икс) = {id_Икс} для всех объектов Икс

хом_C(Икс, Y) = ∅ для всех объектов Икс ≠ Y

Поскольку по аксиомам всегда существует тождественный морфизм между одним и тем же объектом, мы можем выразить сказанное выше как условие мощности гом-множества

| хом_C(Икс, Y) | равно 1, когда Икс = Y и 0, когда Икс не равно Y.

Некоторые авторы предпочитают более слабое понятие, когда дискретная категория просто должна быть эквивалент в такую ​​категорию.

Простые факты

Любой учебный класс объектов определяет дискретную категорию при дополнении картами идентичности.

Любой подкатегория дискретной категории дискретно. Кроме того, категория является дискретной тогда и только тогда, когда все ее подкатегории являются полный.

В предел любой функтор из дискретной категории в другую категорию называется товар, в то время как копредел называется сопродукт. Так, например, дискретная категория всего с двумя объектами может использоваться как диаграмма или же диагональный функтор для определения продукта или совместного продукта двух объектов. Как вариант, для общей категории C и дискретная категория 2можно рассматривать категория функторов C². Диаграммы 2 в этой категории находятся пары объектов, а предел диаграммы - продукт.

В функтор из Набор к Кот который отправляет набор в соответствующую дискретную категорию, левый смежный к функтору, отправляющему небольшую категорию своему набору объектов. (Правый сопряженный см. недискретная категория.)

Рекомендации

• Роберт Голдблатт (1984). Топои, категориальный анализ логики (Исследования по логике и основам математики, 98). Северная Голландия. Перепечатано Dover Publications в 2006 г. и доступно онлайн в Домашняя страница Роберта Голдблатта.