WikiDer > Искаженная метрика Шварцшильда

Distorted Schwarzschild metric

В физика, то искаженная метрика Шварцшильда - метрика стандартного / изолированного Пространство-время Шварцшильда подвергается воздействию внешних полей. При численном моделировании метрика Шварцшильда может быть искажена почти произвольными видами внешних распределение энергии-импульса. Однако в точном анализе зрелый метод искажения стандартной метрики Шварцшильда ограничен рамками Метрики Вейля.

Стандартный Шварцшильд как вакуумная метрика Вейля

Все статические осесимметричные решения Уравнения Эйнштейна – Максвелла можно записать в виде метрики Вейля,^[1]

${ displaystyle (1) quad ds ^ {2} = - e ^ {2 psi ( rho, z)} dt ^ {2} + e ^ {2 gamma ( rho, z) -2 psi ( rho, z)} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + e ^ {- 2 psi ( rho, z)} rho ^ {2} d phi ^ {2} ,,}$

С точки зрения Вейля, метрические потенциалы, порождающие стандартные Решение Шварцшильда даны^[1]^[2]

{ Displaystyle (2) quad psi _ {SS} = { frac {1} {2}} ln { frac {LM} {L + M}} ,, quad gamma _ {SS} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2} -M ^ {2}} {l _ {+} l _ {-}}} ,,}

куда

{ displaystyle (3) quad L = { frac {1} {2}} { big (} l _ {+} + l _ {-} { big)} ,, quad l _ {+} = { sqrt { rho ^ {2} + (z + M) ^ {2}}} ,, quad l _ {-} = { sqrt { rho ^ {2} + (zM) ^ {2}} } ,,}

что дает метрику Шварцшильда в Канонические координаты Вейля который

{ displaystyle (4) quad ds ^ {2} = - { frac {LM} {L + M}} dt ^ {2} + { frac {(L + M) ^ {2}} {l_ { +} l _ {-}}} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + { frac {L + M} {LM}} , rho ^ {2} d phi ^ {2 } ,.}

Вейлевское искажение метрики Шварцшильда

Вакуумные пространства-времени Вейля (например, Шварцшильда) подчиняются следующим уравнениям поля:^[1]^[2]

{ Displaystyle (5.a) quad nabla ^ {2} psi = 0 ,,}

{ Displaystyle (5.b) quad gamma _ {, , rho} = rho , { Big (} psi _ {, , rho} ^ {2} - psi _ {, , z} ^ {2} { Big)} ,,}

{ Displaystyle (5.c) quad gamma _ {, , z} = 2 , rho , psi _ {, , rho} psi _ {, , z} ,,}

{ Displaystyle (5.d) quad gamma _ {, , rho rho} + gamma _ {, , zz} = - { big (} psi _ {, , rho} ^ {2} + psi _ {, , z} ^ {2} { big)} ,,}

куда ${ displaystyle nabla ^ {2}: = partial _ { rho rho} + { frac {1} { rho}} partial _ { rho} + partial _ {zz}}$ это Оператор Лапласа.

Вывод уравнений вакуумного поля.

Уравнение Эйнштейна вакуума гласит ${ displaystyle R_ {ab} = 0}$ , что дает уравнения (5.a) - (5.c).

Кроме того, дополнительное соотношение ${ displaystyle R = 0}$ следует уравнение (5.d).

Уравнение (5.a) - это линейный Уравнение Лапласа; то есть линейные комбинации данных решений все еще являются его решениями. Учитывая два решения ${ Displaystyle { psi ^ { langle 1 rangle}, psi ^ { langle 2 rangle} }}$ уравнения (5.a), можно построить новое решение через

${ displaystyle (6) quad { tilde { psi}} , = , psi ^ { langle 1 rangle} + psi ^ { langle 2 rangle} ,,}$

а другой метрический потенциал можно получить с помощью

{ displaystyle (7) quad { tilde { gamma}} , = , gamma ^ { langle 1 rangle} + gamma ^ { langle 2 rangle} +2 int rho , { Big {} , { Big (} psi _ {, , rho} ^ { langle 1 rangle} psi _ {, , rho} ^ { langle 2 rangle} - psi _ {, , z} ^ { langle 1 rangle} psi _ {, , z} ^ { langle 2 rangle} { Big)} , d rho + { Big (} psi _ {, , rho} ^ { langle 1 rangle} psi _ {, , z} ^ { langle 2 rangle} + psi _ {, , z} ^ { langle 1 rangle} psi _ {, , rho} ^ { langle 2 rangle} { Big)} , dz , { Big }} ,.}

Позволять ${ Displaystyle psi ^ { langle 1 rangle} = psi _ {SS}}$ и ${ displaystyle gamma ^ { langle 1 rangle} = gamma _ {SS}}$ , пока ${ Displaystyle psi ^ { langle 2 rangle} = psi}$ и ${ Displaystyle гамма ^ { langle 2 rangle} = гамма}$ относятся ко второму набору метрических потенциалов Вейля. Потом, ${ displaystyle {{ tilde { psi}}, { tilde { gamma}} }}$ построенный по формулам (6) (7), приводит к наложенной метрике Шварцшильда-Вейля

{ displaystyle (8) quad ds ^ {2} = - e ^ {2 psi ( rho, z)} { frac {LM} {L + M}} dt ^ {2} + e ^ {2 gamma ( rho, z) -2 psi ( rho, z)} { frac {(L + M) ^ {2}} {l _ {+} l _ {-}}} (d rho ^ { 2} + dz ^ {2}) + e ^ {- 2 psi ( rho, z)} { frac {L + M} {LM}} , rho ^ {2} d phi ^ {2 } ,.}

С преобразованиями^[2]

{ Displaystyle (9) четырехъядерный L + M = р ,, четырехъядерный l _ {+} + l _ {-} = 2M соз тета ,, четырехъядерный г = (рМ) соз тета ,, }

{ displaystyle ; ; quad rho = { sqrt {r ^ {2} -2Mr}} , sin theta ,, quad l _ {+} l _ {-} = (rM) ^ { 2} -M ^ {2} cos ^ {2} theta ,,}

можно получить наложенную метрику Шварцшильда в обычном ${ Displaystyle {т, г, тета, фи }}$ координаты,

{ displaystyle (10) quad ds ^ {2} = - e ^ {2 psi (r, theta)} , { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big )} , dt ^ {2} + e ^ {2 gamma (r, theta) -2 psi (r, theta)} { Big {} , { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} , { Big }} + e ^ {- 2 psi (r, theta)} r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} ,.}

Наложенную метрику (10) можно рассматривать как стандартную метрику Шварцшильда, искаженную внешними источниками Вейля. При отсутствии потенциала искажения ${ Displaystyle { psi ( rho, z) = 0, gamma ( rho, z) = 0 }}$ , Уравнение (10) сводится к стандартной метрике Шварцшильда

{ displaystyle (11) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} , dt ^ {2} + { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} , dr ^ {2} + r ^ {2} , d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} ,.}

Искаженное по Вейлю решение Шварцшильда в сферических координатах

Подобно точные вакуумные решения к метрике Вейля в сферические координаты, у нас также есть серийные решения уравнению (10). Потенциал искажения ${ displaystyle psi (г, theta)}$ в уравнении (10) задается мультипольное расширение^[3]

{ displaystyle (12) quad psi (r, theta) , = - sum _ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} { Big (} { frac {R_ {n}) ( cos theta)} {M}} { Big)} P_ {i}}

с

{ displaystyle R: = { Big [} { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} r ^ {2} + M ^ {2} cos ^ {2} theta { Big]} ^ {1/2}}

куда

{ displaystyle (13) quad P_ {i}: = p_ {i} { Big (} { frac {(r-m) cos theta} {R}} { Big)}}

обозначает Полиномы Лежандра и ${ displaystyle a_ {i}}$ находятся многополюсный коэффициенты. Другой потенциал ${ Displaystyle гамма (г, тета)}$ является