WikiDer > Метрики Вейля

В общая теория относительности, то Метрики Вейля (назван в честь немецко-американского математика Герман Вейль)^[1] класс статический и осесимметричный решения для Уравнение поля Эйнштейна. Три члена известной Керр – Ньюман семейные решения, а именно Шварцшильд, неэкстремальный Рейсснер-Нордстрём и экстремальные метрики Рейсснера – Нордстрёма могут быть идентифицированы как метрики типа Вейля.

Стандартные метрики Вейля

Класс решений Вейля имеет общий вид^[2][3]

${ displaystyle (1) quad ds ^ {2} = - e ^ {2 psi ( rho, z)} dt ^ {2} + e ^ {2 gamma ( rho, z) -2 psi ( rho, z)} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + e ^ {- 2 psi ( rho, z)} rho ^ {2} d phi ^ {2} ,,}$

куда ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ и ${ Displaystyle гамма ( ро, г)}$ - два метрических потенциала, зависящих от Канонические координаты Вейля ${ displaystyle { rho ,, z }}$. Система координат ${ Displaystyle {т, ро, г, фи }}$ лучше всего подходит для симметрии пространства-времени Вейля (с двумя Убивающие векторные поля существование ${ displaystyle xi ^ {t} = partial _ {t}}$ и ${ Displaystyle xi ^ { phi} = partial _ { phi}}$) и часто действует как цилиндрические координаты,^[2] но это неполный при описании черная дыра в качестве ${ displaystyle { rho ,, z }}$ только покрыть горизонт и его экстерьеры.

Следовательно, для определения статического осесимметричного решения, соответствующего конкретному тензор энергии-импульса ${ displaystyle T_ {ab}}$, нам просто нужно подставить метрическое уравнение Вейля (1) в уравнение Эйнштейна (с c = G = 1):

${ displaystyle (2) quad R_ {ab} - { frac {1} {2}} Rg_ {ab} = 8 pi T_ {ab} ,,}$

и проработать две функции ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ и ${ Displaystyle гамма ( ро, г)}$.

Уравнения приведенного поля для электровакуумных решений Вейля

Одним из наиболее изученных и наиболее полезных решений Вейля является электровакуумный случай, когда ${ displaystyle T_ {ab}}$ происходит из-за существования электромагнитного поля (типа Вейля) (без потоков вещества и тока). Как известно, с учетом электромагнитного четырехпотенциала ${ displaystyle A_ {a}}$, антисимметричное электромагнитное поле ${ displaystyle F_ {ab}}$ и бесследового тензора напряжений-энергии ${ displaystyle T_ {ab}}$ ${ Displaystyle (Т = г ^ {ab} T_ {ab} = 0)}$ будет соответственно определяться

${ displaystyle (3) quad F_ {ab} = A_ {b ,; , a} -A_ {a ,; , b} = A_ {b ,, , a} -A_ {a ,, , b}}$
${ displaystyle (4) quad T_ {ab} = { frac {1} {4 pi}} , { Big (} , F_ {ac} F_ {b} ^ {; c} - { frac {1} {4}} g_ {ab} F_ {cd} F ^ {cd} { Big)} ,,}$

который соблюдает ковариантные уравнения Максвелла без источников:

${ Displaystyle (5.a) quad { big (} F ^ {ab} { big)} _ {; , b} = 0 ,, quad F _ {[ab ,; , c] } = 0 ,.}$

Уравнение (5.a) можно упростить до:

${ displaystyle (5.b) quad { big (} { sqrt {-g}} , F ^ {ab} { big)} _ {, , b} = 0 ,, quad F_ {[ab ,, , c]} = 0}$

в расчетах как ${ Displaystyle Gamma _ {bc} ^ {a} = Gamma _ {cb} ^ {a}}$. Кроме того, поскольку ${ Displaystyle R = -8 pi T = 0}$ для электровакуума уравнение (2) сводится к

${ displaystyle (6) quad R_ {ab} = 8 pi T_ {ab} ,.}$

Теперь предположим, что осесимметричный электростатический потенциал типа Вейля равен ${ displaystyle A_ {a} = Phi ( rho, z) [dt] _ {a}}$ (компонент ${ displaystyle Phi}$ на самом деле электромагнитный скалярный потенциал), и вместе с уравнением для метрики Вейля (1) из уравнений (3) (4) (5) (6) следует, что

${ Displaystyle (7.a) quad nabla ^ {2} psi = , ( nabla psi) ^ {2} + gamma _ {, , rho rho} + gamma _ {, , zz}}$
${ displaystyle (7.b) quad nabla ^ {2} psi = , e ^ {- 2 psi} ( nabla Phi) ^ {2}}$
${ Displaystyle (7.c) quad { frac {1} { rho}} , gamma _ {, , rho} = , psi _ {, , rho} ^ {2} - psi _ {, , z} ^ {2} -e ^ {- 2 psi} { big (} Phi _ {, , rho} ^ {2} - Phi _ {, , z} ^ {2} { big)}}$
${ Displaystyle (7.d) quad { frac {1} { rho}} , gamma _ {, , z} = , 2 psi _ {, , rho} psi _ { , , z} -2e ^ {- 2 psi} Phi _ {, , rho} Phi _ {, , z}}$
${ Displaystyle (7.e) quad nabla ^ {2} Phi = , 2 nabla psi nabla Phi ,,}$

куда ${ displaystyle R = 0}$ дает уравнение (7.a), ${ Displaystyle R_ {tt} = 8 pi T_ {tt}}$ или же ${ Displaystyle R _ { varphi varphi} = 8 pi T _ { varphi varphi}}$ дает уравнение (7.b), ${ Displaystyle R _ { rho rho} = 8 pi T _ { rho rho}}$ или же ${ Displaystyle R_ {zz} = 8 pi T_ {zz}}$ дает уравнение (7.c), ${ Displaystyle R _ { rho z} = 8 pi T _ { rho z}}$ дает уравнение (7.d), а уравнение (5.b) дает уравнение (7.e). Здесь ${ displaystyle nabla ^ {2} = partial _ { rho rho} + { frac {1} { rho}} , partial _ { rho} + partial _ {zz}}$ и ${ displaystyle nabla = partial _ { rho} , { hat {e}} _ { rho} + partial _ {z} , { hat {e}} _ {z}}$ соответственно Лаплас и градиент операторы. Более того, если предположить ${ Displaystyle psi = psi ( Phi)}$ в смысле взаимодействия материи и геометрии и предполагая асимптотическую плоскостность, мы обнаружим, что уравнения (7.a-e) влекут за собой характеристическое соотношение, которое

${ displaystyle (7.f) quad e ^ { psi} = , Phi ^ {2} -2C Phi +1 ,.}$

В частности, в простейшем вакуумном корпусе с ${ Displaystyle Phi = 0}$ и ${ displaystyle T_ {ab} = 0}$, Уравнения (7.a-7.e) сводятся к^[4]

${ displaystyle (8.a) quad gamma _ {, , rho rho} + gamma _ {, , zz} = - ( nabla psi) ^ {2}}$
${ displaystyle (8.b) quad nabla ^ {2} psi = 0}$
${ Displaystyle (8.c) quad gamma _ {, , rho} = rho , { Big (} psi _ {, , rho} ^ {2} - psi _ {, , z} ^ {2} { Big)}}$
${ Displaystyle (8.d) quad gamma _ {, , z} = 2 , rho , psi _ {, , rho} psi _ {, , z} ,.}$

Во-первых, мы можем получить ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ решив уравнение (8.b), а затем проинтегрируем уравнение (8.c) и уравнение (8.d) для ${ Displaystyle гамма ( ро, г)}$. Практически уравнение (8.a), возникающее из ${ displaystyle R = 0}$ просто работает как отношение согласованности или условие интегрируемости.

В отличие от нелинейного Уравнение Пуассона Уравнение (7.b), уравнение (8.b) является линейным Уравнение лапласа; другими словами, суперпозиция данных вакуумных решений для уравнения (8.b) все еще является решением. Этот факт имеет широкое применение, например, для аналитического исказить черную дыру Шварцшильда.

Вставка B: Получение электровака Вейля ${ displaystyle psi sim Phi}$ характеристическое отношение

Учитывая взаимодействие между геометрией пространства-времени и распределениями энергии-материи, естественно предположить, что в уравнениях (7.a-7.e) метрическая функция ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ связана с электростатическим скалярным потенциалом ${ Displaystyle Phi ( rho, z)}$ через функцию ${ Displaystyle psi = psi ( Phi)}$ (что означает, что геометрия зависит от энергии), и отсюда следует, что

${ Displaystyle (B.1) quad psi _ {, , i} = psi _ {, , Phi} cdot Phi _ {, , i} quad, quad nabla psi = psi _ {, , Phi} cdot nabla Phi quad, quad nabla ^ {2} psi = psi _ {, , Phi} cdot nabla ^ {2} Phi + psi _ {, , Phi Phi} cdot ( nabla Phi) ^ {2},}$

Уравнение (B.1) немедленно превращает уравнения (7.b) и (7.e) соответственно в

${ Displaystyle (B.2) quad Psi _ {, , Phi} cdot nabla ^ {2} Phi , = , { big (} e ^ {- 2 psi} - psi _ {, , Phi Phi} { big)} cdot ( nabla Phi) ^ {2},}$
${ Displaystyle (B.3) quad nabla ^ {2} Phi , = , 2 psi _ {, , Phi} cdot ( nabla Phi) ^ {2},}$

которые дают начало

${ Displaystyle (B.4) quad psi _ {, , Phi Phi} +2 , { big (} psi _ {, , Phi} { big)} ^ {2} -e ^ {- 2 psi} = 0.}$

Теперь замените переменную ${ displaystyle psi}$ к ${ displaystyle zeta: = e ^ {2 psi}}$, а уравнение (Б.4) упрощается до

${ Displaystyle (B.5) quad zeta _ {, , Phi Phi} -2 = 0.}$

Прямая квадратура уравнения (B.5) дает ${ displaystyle zeta = e ^ {2 psi} = Phi ^ {2} + { tilde {C}} Phi + B}$, с ${ displaystyle {B, { tilde {C}} }}$ являются интегральными константами. Чтобы возобновить асимптотическую плоскостность на пространственной бесконечности, нам потребуется ${ Displaystyle lim _ { rho, z to infty} Phi = 0}$ и ${ Displaystyle lim _ { rho, z to infty} е ^ {2 psi} = 1}$, значит, должно быть ${ displaystyle B = 1}$. Также перепишем константу ${ displaystyle { tilde {C}}}$ в качестве ${ displaystyle -2C}$ для математического удобства в последующих вычислениях, и, наконец, получаем характеристическое соотношение, подразумеваемое уравнениями (7.a-7.e), что

${ displaystyle (7.f) quad e ^ {2 psi} = Phi ^ {2} -2C Phi +1 ,.}$

Это соотношение важно для линеаризации уравнений (7.a-7.f) и совмещения электровакуумных растворов Вейля.

Ньютоновский аналог метрического потенциала Ψ (ρ, z)

В метрическом уравнении Вейля (1) ${ displaystyle e ^ { pm 2 psi} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( pm 2 psi) ^ {n}} {n!}}}$; таким образом, в приближении предела слабого поля ${ displaystyle psi to 0}$, надо

${ displaystyle (9) quad g_ {tt} = - (1 + 2 psi) - { mathcal {O}} ( psi ^ {2}) ,, quad g _ { phi phi} = 1-2 psi + { mathcal {O}} ( psi ^ {2}) ,,}$

и поэтому

${ displaystyle (10) quad ds ^ {2} приблизительно - { Big (} 1 + 2 psi ( rho, z) { Big)} , dt ^ {2} + { Big (} 1-2 psi ( rho, z) { Big)} { Big [} e ^ {2 gamma} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + rho ^ {2} d phi ^ {2} { Big]} ,.}$

Это очень похоже на хорошо известную приближенную метрику для статических и слабых гравитационные поля генерируются маломассивными небесными телами, такими как Солнце и Земля,^[5]

${ displaystyle (11) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 + 2 Phi _ {N} ( rho, z) { Big)} , dt ^ {2} + { Большой (} 1-2 Phi _ {N} ( rho, z) { Big)} , { Big [} d rho ^ {2} + dz ^ {2} + rho ^ {2} d phi ^ {2} { Big]} ,.}$

куда ${ Displaystyle Phi _ {N} ( rho, z)}$ это обычный Ньютоновский потенциал удовлетворяющее уравнению Пуассона ${ displaystyle nabla _ {L} ^ {2} Phi _ {N} = 4 pi varrho _ {N}}$, как и уравнение (3.a) или уравнение (4.a) для метрического потенциала Вейля ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$. Сходства между ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ и ${ Displaystyle Phi _ {N} ( rho, z)}$ вдохновлять людей узнавать Ньютоновский аналог из ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ при изучении класса решений Вейля; то есть воспроизвести ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ нерелятивистски по определенному типу ньютоновских источников. Ньютоновский аналог ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ оказывается весьма полезным при указании конкретных решений типа Вейля и расширении существующих решений типа Вейля.^[2]

Решение Шварцшильда

Потенциалы Вейля, порождающие Метрика Шварцшильда как решения вакуумных уравнений уравнение (8) даются^[2][3][4]

${ Displaystyle (12) quad psi _ {SS} = { frac {1} {2}} ln { frac {LM} {L + M}} ,, quad gamma _ {SS} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2} -M ^ {2}} {l _ {+} l _ {-}}} ,,}$

куда

${ displaystyle (13) quad L = { frac {1} {2}} { big (} l _ {+} + l _ {-} { big)} ,, quad l _ {+} = { sqrt { rho ^ {2} + (z + M) ^ {2}}} ,, quad l _ {-} = { sqrt { rho ^ {2} + (zM) ^ {2}} } ,.}$

С точки зрения ньютоновского аналога, ${ displaystyle psi _ {SS}}$ равен гравитационному потенциалу, создаваемому стержнем массы ${ displaystyle M}$ и длина ${ displaystyle 2M}$ размещены симметрично на ${ displaystyle z}$-ось; то есть линейной массой однородной плотности ${ Displaystyle sigma = 1/2}$ вложил интервал ${ displaystyle z in [-M, M]}$. (Примечание: на основе этого аналога были разработаны важные расширения метрики Шварцшильда, как описано в ссылке.^[2])

Данный ${ displaystyle psi _ {SS}}$ и ${ displaystyle gamma _ {SS}}$, Метрика Вейля Eq ( ref {метрика Вейля в канонических координатах}) принимает вид

${ displaystyle (14) quad ds ^ {2} = - { frac {LM} {L + M}} dt ^ {2} + { frac {(L + M) ^ {2}} {l_ { +} l _ {-}}} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + { frac {L + M} {LM}} , rho ^ {2} d phi ^ {2 } ,,}$

и после замены следующих взаимосогласованных отношений

${ Displaystyle (15) четырехъядерный L + M = г ,, четырехъядерный l _ {+} - l _ {-} = 2M соз тета ,, четырехъядерный г = (рМ) соз тета ,, }$
${ displaystyle ; ; quad rho = { sqrt {r ^ {2} -2Mr}} , sin theta ,, quad l _ {+} l _ {-} = (rM) ^ { 2} -M ^ {2} cos ^ {2} theta ,,}$

можно получить общий вид метрики Шварцшильда в обычном ${ Displaystyle {т, г, тета, фи }}$ координаты,

${ displaystyle (16) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} , dt ^ {2} + { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ { 2} theta , d phi ^ {2} ,.}$

Метрическое уравнение (14) нельзя напрямую преобразовать в уравнение (16), выполнив стандартное цилиндрическо-сферическое преобразование ${ Displaystyle (т, ро, г, фи) = (т, р грех тета, г соз тета, фи)}$, потому что ${ Displaystyle {т, г, тета, фи }}$ завершено, пока ${ Displaystyle (т, ро, г, фи)}$ неполный. Вот почему мы звоним ${ Displaystyle {т, ро, г, фи }}$ в уравнении (1) как канонические координаты Вейля, а не цилиндрические координаты, хотя у них много общего; например, лапласиан ${ displaystyle nabla ^ {2}: = partial _ { rho rho} + { frac {1} { rho}} partial _ { rho} + partial _ {zz}}$ в уравнении (7) - это в точности двумерный геометрический лапласиан в цилиндрических координатах.

Неэкстремальное решение Рейсснера – Нордстрема

Потенциалы Вейля, порождающие неэкстремальную Рейсснер-Нордстрём решение (${ displaystyle M> | Q |}$) как решения уравнений (7} даются выражениями^[2][3][4]

${ displaystyle (17) quad psi _ {RN} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2}) } {(L + M) ^ {2}}} ,, quad gamma _ {RN} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2})} {l _ {+} l _ {-}}} ,,}$

куда

${ displaystyle (18) quad L = { frac {1} {2}} { big (} l _ {+} + l _ {-} { big)} ,, quad l _ {+} = { sqrt { rho ^ {2} + (z + { sqrt {M ^ {2} -Q ^ {2}}}) ^ {2}}} ,, quad l _ {-} = { sqrt { rho ^ {2} + (z - { sqrt {M ^ {2} -Q ^ {2}}}) ^ {2}}} ,.}$

Таким образом, учитывая ${ displaystyle psi _ {RN}}$ и ${ displaystyle gamma _ {RN}}$, Метрика Вейля принимает вид

${ displaystyle (19) quad ds ^ {2} = - { frac {L ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2})} {(L + M) ^ {2}} } dt ^ {2} + { frac {(L + M) ^ {2}} {l _ {+} l _ {-}}} (d rho ^ {2} + dz ^ {2}) + { гидроразрыв {(L + M) ^ {2}} {L ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2})}} rho ^ {2} d phi ^ {2} ,, }$

и используя следующие преобразования

${ displaystyle (20) quad L + M = r ,, quad l _ {+} - l _ {-} = 2 { sqrt {M ^ {2} -Q ^ {2}}} , cos theta ,, quad z = (rM) cos theta ,,}$
${ displaystyle ; ; quad rho = { sqrt {r ^ {2} -2Mr + Q ^ {2}}} , sin theta ,, quad l _ {+} l _ {-} = (rM) ^ {2} - (M ^ {2} -Q ^ {2}) cos ^ {2} theta ,,}$

можно получить общую форму неэкстремальной метрики Рейсснера – Нордстрёма в обычном ${ Displaystyle {т, г, тета, фи }}$ координаты,

${ displaystyle (21) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} + { frac {Q ^ {2}} {r ^ {2}} } { Big)} , dt ^ {2} + { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} + { frac {Q ^ {2}} {r ^ {2}}} { Big)} ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2 } ,.}$

Экстремальное решение Рейсснера – Нордстрёма.

Потенциалы, порождающие экстремальный Решение Рейсснера – Нордстрема (${ Displaystyle M = | Q |}$) как решения уравнений (7} даются выражениями^[4] (Примечание: мы относимся к экстремальный решение отдельно, потому что это намного больше, чем вырожденное состояние неэкстремального аналога.)

${ displaystyle (22) quad psi _ {ERN} = { frac {1} {2}} ln { frac {L ^ {2}} {(L + M) ^ {2}}} ,, quad gamma _ {ERN} = 0 ,, quad { text {with}} quad L = { sqrt { rho ^ {2} + z ^ {2}}} ,.}$

Таким образом, экстремальная метрика Рейсснера – Нордстрема имеет вид

${ displaystyle (23) quad ds ^ {2} = - { frac {L ^ {2}} {(L + M) ^ {2}}} dt ^ {2} + { frac {(L + M) ^ {2}} {L ^ {2}}} (d rho ^ {2} + dz ^ {2} + rho ^ {2} d phi ^ {2}) ,,}$

и заменив

${ Displaystyle (24) четырехъядерный L + M = р ,, четырехъядерный Z = L соз тета ,, четырехъядерный ро = L грех тета ,,}$

получаем экстремальную метрику Рейсснера – Нордстрёма в обычном ${ Displaystyle {т, г, тета, фи }}$ координаты,

${ displaystyle (25) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {M} {r}} { Big)} ^ {2} dt ^ {2} + { Big (} 1 - { frac {M} {r}} { Big)} ^ {- 2} dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} ,.}$

Математически экстремаль Рейсснера – Нордстрема может быть получена путем перехода к пределу ${ displaystyle Q to M}$ соответствующего неэкстремального уравнения, а пока нужно использовать Правило госпиталя иногда.

Примечания: метрика Вейля (1) с нулевым потенциалом ${ Displaystyle гамма ( ро, г)}$ (подобно экстремальной метрике Рейсснера – Нордстрёма) составляют специальный подкласс, который имеет только один метрический потенциал ${ Displaystyle psi ( rho, z)}$ быть идентифицированным. Расширяя этот подкласс путем отмены ограничения осесимметрии, мы получаем другой полезный класс решений (все еще использующий координаты Вейля), а именно: конформный метрики^[6][7]

${ displaystyle (26) quad ds ^ {2} , = - e ^ {2 lambda ( rho, z, phi)} dt ^ {2} + e ^ {- 2 lambda ( rho, z, phi)} { Big (} d rho ^ {2} + dz ^ {2} + rho ^ {2} d phi ^ {2} { Big)} ,,}$

где мы используем ${ displaystyle lambda}$ в уравнении (22) как единственную метрическую функцию вместо ${ displaystyle psi}$ в уравнении (1), чтобы подчеркнуть, что они различаются осевой симметрией (${ displaystyle phi}$-зависимость).

Вакуумные решения Вейля в сферических координатах

Метрика Вейля также может быть выражена в сферические координаты который

${ displaystyle (27) quad ds ^ {2} , = - e ^ {2 psi (r, theta)} dt ^ {2} + e ^ {2 gamma (r, theta) -2 psi (r, theta)} (dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2}) + e ^ {- 2 psi (r, theta)} rho ^ {2} d phi ^ {2} ,,}$

что равняется уравнению (1) через преобразование координат ${ Displaystyle (т, ро, г, фи) mapsto (т, р грех тета, г соз тета, фи)}$ (Примечание: как показано уравнениями (15) (21) (24), это преобразование не всегда применимо.) В случае вакуума уравнение (8.b) для ${ Displaystyle psi (г, theta)}$ становится

${ displaystyle (28) quad r ^ {2} psi _ {, , rr} + 2r , psi _ {, , r} + psi _ {, , theta theta} + кроватка theta cdot psi _ {, , theta} , = , 0 ,.}$

В асимптотически плоский решения уравнения (28) есть^[2]

${ displaystyle (29) quad psi (r, theta) , = - sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} { frac {P_ {n} ( cos theta )} {г ^ {п + 1}}} ,,}$

куда ${ Displaystyle P_ {п} ( соз тета)}$ представлять Полиномы Лежандра, и ${ displaystyle a_ {n}}$ находятся многополюсный коэффициенты. Другой метрический потенциал ${ Displaystyle гамма (г, тета)}$дан кем-то^[2]

${ displaystyle (30) quad gamma (r, theta) , = - sum _ {l = 0} ^ { infty} sum _ {m = 0} ^ { infty} a_ {l} являюсь}}$ ${ displaystyle { frac {(l + 1) (m + 1)} {l + m + 2}}}$ ${ displaystyle { frac {P_ {l} P_ {m} -P_ {l + 1} P_ {m + 1}} {r ^ {l + m + 2}}} ,.}$

Смотрите также

• Метрика Шварцшильда
• Метрика Рейсснера – Нордстрема
• Искаженная метрика Шварцшильда

Рекомендации