WikiDer > Двойное отрицание

В логика высказываний, двойное отрицание это теорема который гласит: «Если утверждение верно, то это не тот случай, когда утверждение неверно». Это выражается в том, что предложение А является логически эквивалентный к не (не-А), или формулой A ≡ ~ (~ A), где знак ≡ выражает логическую эквивалентность, а знак ~ выражает отрицание.^[1]

Словно закон исключенного среднего, этот принцип считается закон мысли в классическая логика,^[2] но это запрещено интуиционистская логика.^[3] Принцип был сформулирован как теорема логика высказываний от Рассел и Уайтхед в Principia Mathematica так как:

${ Displaystyle mathbf {* 4 cdot 13}. vdash. п эквив толстый ( толстый п)}$^[4]

«Это принцип двойного отрицания, т.е. предложение эквивалентно ложности его отрицания ".

Устранение и введение

'Устранение двойного отрицания и введение двойного отрицания два действительный правила замены. Они выводы что если А верно, тогда не не-А правда и его разговаривать, что если не не-А верно, тогда А правда. Правило позволяет ввести или исключить отрицание из формальное доказательство. Правило основано на эквивалентности, например, Неверно, что дождь не идет. и Идет дождь.

В введение двойного отрицания правило:

п ${ displaystyle Rightarrow}$ ${ displaystyle neg}$${ displaystyle neg}$п

и исключение двойного отрицания правило:

${ displaystyle neg}$${ displaystyle neg}$п ${ displaystyle Rightarrow}$ п

Куда "${ displaystyle Rightarrow}$" это металогический символ представляющий «можно заменить в доказательстве на.»

В логике, имеющей оба правила, отрицание инволюция.

Формальное обозначение

В введение двойного отрицания правило может быть записано в последовательный обозначение:

${ Displaystyle P vdash neg neg P}$

В исключение двойного отрицания правило можно записать как:

${ displaystyle neg neg P vdash P}$

В форма правила:

${ displaystyle { frac {P} { neg neg P}}}$

и

${ displaystyle { frac { neg neg P} {P}}}$

или как тавтология (простое предложение исчисления высказываний):

${ displaystyle P to neg neg P}$

и

${ displaystyle neg neg P to P}$

Их можно объединить в одну двусмысленную формулу:

${ displaystyle neg neg P leftrightarrow P}$.

Поскольку двусловность - это отношение эквивалентности, любой экземпля𠬬А в правильно сформированная формула можно заменить на А, оставив без изменений истинность правильной формулы.

Двойное отрицательное исключение - это теорема классическая логика, но не более слабой логики, такой как интуиционистская логика и минимальная логика. Введение двойного отрицания - это теорема как интуиционистской логики, так и минимальной логики, как и ${ displaystyle neg neg neg A vdash neg A}$.

В силу своего конструктивного характера такое утверждение, как Дело не в том, что дождь не идет слабее чем Идет дождь. Последнее требует доказательства дождя, тогда как первое требует просто доказательства того, что дождь не будет противоречивым. Это различие также возникает в естественном языке в форме литоты.

Доказательства

В классической системе исчисления высказываний

В Дедуктивные системы гильберта для логики высказываний двойное отрицание не всегда считается аксиомой (см. список систем Гильберта), и это скорее теорема. Опишем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенной А. Ян Лукасевич:

A1. ${ displaystyle phi to left ( psi to phi right)}$

A2. ${ displaystyle left ( phi to left ( psi rightarrow xi right) right) to left ( left ( phi to psi right) to left ( phi в xi right) right)}$

A3. ${ displaystyle left ( lnot phi to lnot psi right) to left ( psi to phi right)}$

Воспользуемся леммой ${ displaystyle p to p}$ доказано Вот, которую мы называем (L1) и пользуемся следующей дополнительной леммой, доказанной Вот:

(L2) ${ Displaystyle р к ((п к q) к q)}$

Сначала докажем ${ displaystyle neg neg p to p}$. Для краткости обозначим ${ Displaystyle д к (г к д)}$ по φ₀. Мы также неоднократно используем метод гипотетический силлогизм, метатеорема как сокращение для нескольких шагов доказательства.

(1) ${ displaystyle varphi _ {0}}$ (пример (A1))

(2) ${ displaystyle ( neg neg varphi _ {0} к neg neg p) to ( neg p to neg varphi _ {0})}$ (пример (A3))

(3) ${ displaystyle ( neg p к neg varphi _ {0}) to ( varphi _ {0} to p)}$ (пример (A3))

(4) ${ displaystyle ( neg neg varphi _ {0} to neg neg p) to ( varphi _ {0} to p)}$ (из (2) и (3) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)

(5) ${ displaystyle neg neg p to ( neg neg varphi _ {0} to neg neg p)}$ (пример (A1))

(6) ${ displaystyle neg neg p to ( varphi _ {0} to p)}$ (из (4) и (5) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)

(7) ${ Displaystyle varphi _ {0} к (( varphi _ {0} к р) к р)}$ (экземпляр (L2))

(8) ${ displaystyle ( varphi _ {0} to p) to p}$ (из (1) и (7) по modus ponens)

(9) ${ displaystyle neg neg p to p}$ (из (6) и (8) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)

Теперь докажем ${ displaystyle p to neg neg p}$.

(1) ${ displaystyle neg neg neg p to neg p}$ (пример первой части только что доказанной теоремы)

(2) ${ displaystyle ( neg neg neg p to neg p) to (p to neg neg p)}$ (пример (A3))

(3) ${ displaystyle p to neg neg p}$ (из (1) и (2) по modus ponens)

И доказательство закончено.

Смотрите также

• Негативный перевод Гёделя – Гентцена

использованная литература

Список используемой литературы

• Уильям Гамильтон, 1860, Лекции по метафизике и логике, Vol. II. Логика; Под редакцией Генри Манселя и Джона Вейтча, Бостон, Гулд и Линкольн.
• Кристоф Зигварт, 1895, Логика: суждение, концепция и вывод; Издание второе, перевод Хелен Денди, Macmillan & Co. Нью-Йорк.
• Стивен К. Клини, 1952, Введение в метаматематику, 6-е переиздание с исправлениями 1971 г., North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7204-2103-9.
• Стивен К. Клини, 1967, Математическая логика, Dover edition 2002, Dover Publications, Inc, Mineola N.Y. ISBN 0-486-42533-9
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, Principia Mathematica до * 56, 2-е издание 1927 г., переиздание 1962 г., Кембридж в University Press.