WikiDer > Эйзенштейн идеал

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то Эйзенштейн идеал является идеальный в кольцо эндоморфизмов из Якобиева многообразие из модульная кривая, состоящий примерно из элементов Алгебра Гекке из Операторы Гекке которые уничтожают Серия Эйзенштейна. Он был представлен Барри Мазур (1977) при изучении рациональных точек модулярных кривых. An Эйзенштейн простое является простым числом, поддерживающим идеал Эйзенштейна (это не имеет ничего общего с простыми числами в целых числах Эйзенштейна).

Определение

Позволять N быть рациональным простым числом, и определим

J₀(N) = J

как якобиево многообразие модулярной кривой

Икс₀(N) = Икс.

Есть эндоморфизмы Т_л из J для каждого простого числа л не делящий N. Они исходят от оператора Гекке, который сначала рассматривается как алгебраическое соответствие на Икс, и оттуда как действующий на классы делителей, который дает действие на J. Также есть Инволюция Фрике ш (и Инволюции Аткина – Ленера если N составной). Идеал Эйзенштейна в (унитальном) подкольце End (J), порожденное кольцом Т_л, порождается как идеал элементами

Т_л − л - 1

для всех л не делящий N, и по

ш + 1.

Геометрическое определение

Предположим, что Т* - кольцо, порожденное операторами Гекке, действующими на всех модулярных формах для Γ₀(N) (не только куспиды). Кольцо Т операторов Гекке на параболических формах является частным от Т*, поэтому Spec (Т) можно рассматривать как подсхему Spec (Т*). Аналогично Spec (Т*) содержит линию (называемую линией Эйзенштейна), изоморфную Spec (Z), возникающие из действия операторов Гекке на ряды Эйзенштейна. Идеал Эйзенштейна - это идеал, определяющий пересечение линии Эйзенштейна с Spec (Т) в Spec (Т*).

Пример

• Идеал Эйзенштейна также может быть определен для модульных форм с большим весом. Предположим, что Т полная алгебра Гекке, порожденная операторами Гекке Т_п действующее на двумерное пространство модулярных форм уровня 1 и веса 12. Это пространство двумерно, оно натянуто на собственные формы, заданные Серия Эйзенштейна E₁₂ и модульный дискриминант Δ. Карта с оператором Гекке Т_п своим собственным значениям (σ₁₁(п), τ (n)) дает гомоморфизм из Т в кольцо Z×Z (где τ - Рамануджан тау функция и σ₁₁(п) - сумма 11-й степени делителей п). Изображение представляет собой набор пар (c,d) с c и d congruent mod 691 из-за сравнения Рамануджана σ₁₁(п) ≡ τ (n) mod 691. Алгебра Гекке операторов Гекке, действующих на касп-форму ∆, просто изоморфна Z. Если мы отождествим его с Z то идеал Эйзенштейна равен (691).

Рекомендации

• Мазур, Барри (1977), «Модульные кривые и идеал Эйзенштейна», Публикации Mathématiques de l'IHÉS (47): 33–186, ISSN 1618-1913, МИСТЕР 0488287
• Мазур, Барри; Серр, Жан-Пьер (1976), "Points rationnels des Courbes modulaires X₀ (N) (d'après A. Ogg)", Семинэр Бурбаки (1974/1975), опыт. № 469, Конспект лекций по математике, 514, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 238–255, МИСТЕР 0485882