Эллипсоидальные координаты являются трехмерными ортогональный система координат ( λ , μ , ν ) {displaystyle (lambda, mu, u)} эллиптическая система координат . В отличие от большинства трехмерных ортогональный системы координат эта особенность квадратичный координатные поверхности , эллипсоидальная система координат основана на конфокальные квадрики .
Основные формулы
Декартовы координаты ( Икс , у , z ) {displaystyle (x, y, z)} ( λ , μ , ν ) {displaystyle (lambda, mu, u)}
Икс 2 = ( а 2 + λ ) ( а 2 + μ ) ( а 2 + ν ) ( а 2 − б 2 ) ( а 2 − c 2 ) {displaystyle x ^ {2} = {frac {left (a ^ {2} + lambda ight) left (a ^ {2} + mu ight) left (a ^ {2} + u ight)} {left (a ^ {2} -b ^ {2} ight) влево (a ^ {2} -c ^ {2} ight)}}} у 2 = ( б 2 + λ ) ( б 2 + μ ) ( б 2 + ν ) ( б 2 − а 2 ) ( б 2 − c 2 ) {displaystyle y ^ {2} = {frac {left (b ^ {2} + lambda ight) left (b ^ {2} + mu ight) left (b ^ {2} + u ight)} {left (b ^ {2} -a ^ {2} ight) left (b ^ {2} -c ^ {2} ight)}}} z 2 = ( c 2 + λ ) ( c 2 + μ ) ( c 2 + ν ) ( c 2 − б 2 ) ( c 2 − а 2 ) {displaystyle z ^ {2} = {frac {left (c ^ {2} + lambda ight) left (c ^ {2} + mu ight) left (c ^ {2} + u ight)} {left (c ^ {2} -b ^ {2} ight) влево (c ^ {2} -a ^ {2} ight)}}} где следующие ограничения применяются к координатам
− λ < c 2 < − μ < б 2 < − ν < а 2 . {displaystyle -lambda Следовательно, поверхности постоянного λ {displaystyle lambda} эллипсоиды
Икс 2 а 2 + λ + у 2 б 2 + λ + z 2 c 2 + λ = 1 , {displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + lambda}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + lambda}} + {frac {z ^ {2} } {c ^ {2} + лямбда}} = 1,} тогда как поверхности постоянного μ {displaystyle mu} гиперболоиды одного листа
Икс 2 а 2 + μ + у 2 б 2 + μ + z 2 c 2 + μ = 1 , {displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + mu}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + mu}} + {frac {z ^ {2}) } {c ^ {2} + mu}} = 1,} потому что последний член в левой части отрицательный, а поверхности постоянных ν {displaystyle u} гиперболоиды из двух листов
Икс 2 а 2 + ν + у 2 б 2 + ν + z 2 c 2 + ν = 1 {displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + u}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + u}} + {frac {z ^ {2}) } {c ^ {2} + u}} = 1} потому что два последних члена слева отрицательны.
Ортогональная система квадрик, используемая для эллипсоидальных координат: конфокальные квадрики .
Масштабные коэффициенты и дифференциальные операторы
Для краткости в приведенных ниже уравнениях введем функцию
S ( σ ) = d е ж ( а 2 + σ ) ( б 2 + σ ) ( c 2 + σ ) {displaystyle S (sigma) {stackrel {mathrm {def}} {=}} left (a ^ {2} + sigma ight) left (b ^ {2} + sigma ight) left (c ^ {2} + sigma ight) )} куда σ {displaystyle sigma} ( λ , μ , ν ) {displaystyle (lambda, mu, u)}
час λ = 1 2 ( λ − μ ) ( λ − ν ) S ( λ ) {displaystyle h_ {lambda} = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {left (lambda -mu ight) left (lambda -u ight)} {S (lambda)}}}} час μ = 1 2 ( μ − λ ) ( μ − ν ) S ( μ ) {displaystyle h_ {mu} = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {left (mu -lambda ight) left (mu -u ight)} {S (mu)}}}} час ν = 1 2 ( ν − λ ) ( ν − μ ) S ( ν ) {displaystyle h_ {u} = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {left (u -lambda ight) left (u -mu ight)} {S (u)}}}} Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен
d V = ( λ − μ ) ( λ − ν ) ( μ − ν ) 8 − S ( λ ) S ( μ ) S ( ν ) d λ d μ d ν {displaystyle dV = {frac {left (lambda -mu ight) left (lambda -u ight) left (mu -u ight)} {8 {sqrt {-S (lambda) S (mu) S (u)}}} } dlambda dmu du} и Лапласиан определяется
∇ 2 Φ = 4 S ( λ ) ( λ − μ ) ( λ − ν ) ∂ ∂ λ [ S ( λ ) ∂ Φ ∂ λ ] + {displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {4 {sqrt {S (lambda)}}} {left (lambda -mu ight) left (lambda -u ight)}} {frac {partial} {partial lambda}} left [{sqrt {S (lambda)}} {frac {partial Phi} {partial lambda}} ight] +} 4 S ( μ ) ( μ − λ ) ( μ − ν ) ∂ ∂ μ [ S ( μ ) ∂ Φ ∂ μ ] + 4 S ( ν ) ( ν − λ ) ( ν − μ ) ∂ ∂ ν [ S ( ν ) ∂ Φ ∂ ν ] {displaystyle {frac {4 {sqrt {S (mu)}}} {left (mu -lambda ight) left (mu -u ight)}} {frac {partial} {partial mu}} left [{sqrt {S ( mu)}} {frac {partial Phi} {partial mu}} ight] + {frac {4 {sqrt {S (u)}}} {left (u -lambda ight) left (u -mu ight)}} { frac {partial} {partial u}} left [{sqrt {S (u)}} {frac {partial Phi} {partial u}} ight]} Другие дифференциальные операторы, такие как ∇ ⋅ F {displaystyle abla cdot mathbf {F}} ∇ × F {displaystyle abla imes mathbf {F}} ( λ , μ , ν ) {displaystyle (lambda, mu, u)} ортогональные координаты .
Смотрите также
Рекомендации
Библиография
Морзе PM, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 663. Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN 0-86720-293-9 Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 101–102. LCCN 67025285 . Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров 176 . LCCN 59014456 . Маргенау Х., Мерфи GM (1956). Математика физики и химии 178 –180. LCCN 55010911 . Moon PH, Спенсер DE (1988). «Эллипсоидальные координаты (η, θ, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения 40 –44 (таблица 1.10). ISBN 0-387-02732-7 Необычная условность Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред (том 8 Курс теоретической физики ) (2-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. 19–29. ISBN 978-0-7506-2634-7 внешняя ссылка
![{displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {4 {sqrt {S (lambda)}}} {left (lambda -mu ight) left (lambda -u ight)}} {frac {partial} {partial lambda}} left [{sqrt {S (lambda)}} {frac {partial Phi} {partial lambda}} ight] +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c86d9fdbebb4d9389a534c1850cafb607cb1fe)
![frac {4sqrt {S (mu)}} {left (mu - лямбда ight) left (mu - uight)}
frac {partial} {partial mu} left [sqrt {S (mu)} frac {partial Phi} {partial mu} ight] +
frac {4sqrt {S (u)}} {left (u - лямбда ight) left (u - muight)}
frac {частичный} {частичный u} левый [sqrt {S (u)} frac {частичный Phi} {частичный u} полет]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27dd38d021f3c354f4904bcd27850e04ddad3f70)
