WikiDer > Проблема Эрдеша – Улама

Нерешенная проблема в математике: Есть ли плотный набор точек на плоскости на рациональном расстоянии друг от друга? (больше нерешенных задач по математике)

В математике Проблема Эрдеша – Улама спрашивает, есть ли на самолете плотный набор пунктов, чьи Евклидовы расстояния все рациональное число. Он назван в честь Пол Эрдёш и Станислав Улам.

Большие наборы точек с рациональным расстоянием

В Теорема Эрдеша – Эннинга заявляет, что набор точек с целое число расстояния должны быть либо конечными, либо лежать в одной строке.^[1] Однако есть и другие бесконечные множества точек с рациональными расстояниями. Например, на единичный круг, позволять S быть набором точек

${ Displaystyle ( соз тета, грех тета)}$

где ${ displaystyle theta}$ ограничивается значениями, которые вызывают ${ displaystyle tan { tfrac { theta} {4}}}$ быть рациональным числом. Для каждой такой точки оба ${ displaystyle sin { tfrac { theta} {2}}}$ и ${ displaystyle cos { tfrac { theta} {2}}}$ сами рациональны, и если ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle varphi}$ определить две точки в S, то их расстояние - рациональное число

${ displaystyle left | 2 sin { frac { theta} {2}} cos { frac { varphi} {2}} - 2 sin { frac { varphi} {2}} cos { frac { theta} {2}} right |.}$

В более общем смысле круг с радиусом ${ displaystyle rho}$ содержит плотный набор точек на рациональных расстояниях друг от друга тогда и только тогда, когда ${ displaystyle rho ^ {2}}$ рационально.^[2] Однако эти множества плотны только на своей окружности, а не на всей плоскости.

История и частичные результаты

В 1946 г. Станислав Улам спросил, существует ли набор точек, находящихся на рациональном расстоянии друг от друга, который образует плотное подмножество из Евклидова плоскость.^[2] Пока ответ на этот вопрос все еще открыт, Йожеф Солимоши и Франк де Зеув показали, что единственная неприводимая алгебраические кривые которые содержат бесконечно много точек на рациональных расстояниях, являются прямыми и окружностями.^[3] Теренс Тао и Джафар Шаффаф независимо заметили, что если Гипотеза Бомбьери – Ланга правда, те же методы показали бы, что не существует бесконечного плотного множества точек на рациональных расстояниях на плоскости.^[4][5] Используя разные методы, Гектор Пастен доказал, что гипотеза abc также подразумевает отрицательное решение проблемы Эрдеша – Улама.^[6]

Последствия

Если проблема Эрдеша – Улама имеет положительное решение, это послужит контрпримером к гипотезе Бомбьери – Ланга и к гипотезе abc. Это также решило бы Гипотеза Харборта, о наличии чертежей планарные графы в котором все расстояния целые. Если существует плотный набор рациональных расстояний, любой прямой рисунок плоского графа может быть нарушен небольшим количеством (без введения пересечений), чтобы использовать точки из этого набора в качестве его вершин, а затем масштабироваться, чтобы сделать расстояния целыми числами. Однако, как и проблема Эрдеша – Улама, гипотеза Харборта остается недоказанной.

Рекомендации