WikiDer > Лемма об оценке

В математике лемма об оценке, также известный как ML неравенство, дает верхняя граница для контурный интеграл. Если ж это сложный-значен, непрерывная функция по контуру Γ и если это абсолютная величина |ж (z)| ограничено константой M для всех z на Γ, тогда

${displaystyle left | int _ {Gamma} f (z), dzight | leq M, l (Gamma),}$

куда л(Γ) это длина дуги из Γ. В частности, мы можем взять максимум

${displaystyle M: ​​= max _ {zin Gamma} | f (z) |}$

как верхняя граница. Интуитивно лемма очень просто понять. Если представить себе контур как множество меньших сегментов контура, соединенных вместе, то будет максимум |ж (z)| для каждого сегмента. Из всего максимума |ж (z)|s для сегментов будет самый большой в целом. Следовательно, если общая наибольшая |ж (z)| суммируется по всему пути, то интеграл от ж (z) длина пути должна быть меньше или равна ему.

Формально справедливость неравенства можно показать, используя определение контурного интеграла абсолютное неравенство для интегралов и формула для длина кривой следующее:

${displaystyle left | int _ {Gamma} f (z), dzight | = left | int _ {alpha} ^ {eta} f (gamma (t)) gamma '(t), dtight | leq int _ {alpha} ^ {eta} left | f (gamma (t)) ight | left | gamma '(t) ight |, dtleq Mint _ {alpha} ^ {eta} left | gamma' (t) ight |, dt = M, l ( Гамма)}$

Лемма об оценке чаще всего используется как часть методы контурной интеграции с целью показать, что интеграл по части контура стремится к нулю при |z| уходит в бесконечность. Пример такого случая показан ниже.

Пример

Контур Γ.

Проблема.Найдите верхнюю границу для

${displaystyle left | int _ {Gamma} {frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}}, dzight |,}$

куда Γ это верхняя половинакруг |z| = а с радиус а > 1 один раз пройден против часовой стрелки.

Решение.Сначала заметьте, что длина пути интегрирования составляет половину длина окружности круга с радиусом а, следовательно

${displaystyle l (Gamma) = {frac {1} {2}} (2pi a) = pi a.}$

Далее мы ищем верхнюю границу M для подынтегрального выражения, когда |z| = а. Посредством неравенство треугольника Мы видим, что

${displaystyle | z | ^ {2} = left | z ^ {2} ight | = left | z ^ {2} + 1-1ight | leq left | z ^ {2} + 1ight | +1,}$

следовательно

${displaystyle left | z ^ {2} + 1ight | geq | z | ^ {2} -1 = a ^ {2} -1> 0}$

потому что |z| = а > 1 на Γ. Следовательно

${displaystyle left | {frac {1} {left (z ^ {2} + 1ight) ^ {2}}} ight | leq {frac {1} {left (a ^ {2} -1ight) ^ {2}} }.}$

Поэтому применим лемму об оценке с M = 1/(а² − 1)². Результирующая оценка

${displaystyle left | int _ {Gamma} {frac {1} {left (z ^ {2} + 1ight) ^ {2}}}, dzight | leq {frac {pi a} {left (a ^ {2} - 1 ночь) ^ {2}}}.}$

Смотрите также

• Лемма Джордана

Рекомендации

• Сафф, Э. Б.; Снайдер, A.D. (1993), Основы комплексного анализа для математики, естествознания и инженерии (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 978-0133274615CS1 maint: ref = harv (связь).
• Хауи, Дж. М. (2003), Комплексный анализ, SpringerCS1 maint: ref = harv (связь).