WikiDer > Система факторизации

Factorization system

В математика, можно показать, что каждый функция можно записать как композицию сюръективный функция, за которой следует инъективный функция. Системы факторизации являются обобщением этой ситуации в теория категорий.

Определение

А система факторизации (E, M) для категория C состоит из двух классов морфизмы E и M из C такой, что:

  1. E и M оба содержат все изоморфизмы из C и закрываются по составу.
  2. Каждый морфизм ж из C можно разложить на множители как для некоторых морфизмов и .
  3. Факторизация функториальный: если и два морфизма такие, что для некоторых морфизмов и , то существует единственный морфизм сделав следующую диаграмму ездить:
Система факторизации functoriality.png


Замечание: это морфизм из к в категория стрелки.

Ортогональность

Два морфизма и как говорят ортогональный, обозначенный , если для каждой пары морфизмов и такой, что есть уникальный морфизм так что диаграмма

Система факторизации orthogonality.png

ездит на работу. Это понятие можно расширить, чтобы определить ортогоналы множеств морфизмов с помощью

и

Поскольку в системе факторизации содержит все изоморфизмы, условие (3) определения эквивалентно

(3') и


Доказательство: На предыдущей диаграмме (3) возьмем (личность на соответствующем объекте) и .

Эквивалентное определение

Пара классов морфизмов C является факторизационной системой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

  1. Каждый морфизм ж из C можно разложить на множители как с и
  2. и

Слабые системы факторизации

Предполагать е и м два морфизма в категории C. потом е имеет левое подъемное свойство относительно м (соответственно м имеет право подъема собственности относительно е), когда для каждой пары морфизмов ты и v такой, что ве = му есть морфизм ш такая, что коммутирует следующая диаграмма. Разница с ортогональностью в том, что ш не обязательно уникален.

Система факторизации orthogonality.png

А слабая система факторизации (E, M) для категории C состоит из двух классов морфизмов E и M из C такой, что:[1]

  1. Класс E - это в точности класс морфизмов, обладающих свойством подъема слева относительно каждого морфизма из M.
  2. Класс M - это в точности класс морфизмов, обладающих свойством правого подъема по отношению к каждому морфизму из E.
  3. Каждый морфизм ж из C можно разложить на множители как для некоторых морфизмов и .

Это понятие приводит к лаконичному определению категории моделей: категория модели - это пара, состоящая из категории C и классы (так называемые) слабые эквиваленты W, расслоения F и кофибрации C так что

  • является слабой системой факторизации, и
  • это слабая система факторизации.[2]

Категория модели - это полная и неполная категория, снабженная структурой модели. Отображение называется тривиальным расслоением, если оно принадлежит и называется тривиальным корасслоением, если принадлежит Объект называется фибрантным, а морфизм к конечному объекту является расслоением и называется кобрантом, если морфизм от исходного объекта - кофибрация.[3]

Рекомендации

  1. ^ Риль (2014, §11.2)
  2. ^ Риль (2014, §11.3)
  3. ^ Валерий Исаев - О волокнистых объектах в модельных категориях.
  • Питер Фрейд, Макс Келли (1972). «Категории непрерывных функторов I». Журнал чистой и прикладной алгебры. 2.
  • Риль, Эмили (2014), Категориальная гомотопическая теория, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9781107261457, ISBN 978-1-107-04845-4, МИСТЕР 3221774

внешняя ссылка