WikiDer > Теорема о фокальной подгруппе

Focal subgroup theorem

В абстрактная алгебра, то теорема о фокальной подгруппе описывает слияние элементов в Силовская подгруппа из конечная группа. Теорема о фокальной подгруппе была введена в (Хигман 1953) и является «первым крупным применением перевода» согласно (Горенштейн, Лион и Соломон 1996, п. 90). Теорема о фокальной подгруппе связывает идеи переноса и слияния, такие как описанные в (Грюн 1936). Различные приложения этих идей включают местные критерии для п-нильпотенция и различные не-простота критериев, направленных на то, чтобы показать, что конечная группа имеет нормальная подгруппа из индекс п.

Фон

Теорема о фокальной подгруппе связывает несколько направлений в теории конечных групп: нормальные подгруппы индекса а степень п, гомоморфизм переноса и слияние элементов.

Подгруппы

Следующие три нормальные подгруппы индекса степени п естественным образом определены и возникают как наименьшие нормальные подгруппы, для которых фактор (определенный вид) п-группа. Формально они являются ядрами отражения на отражающая подкатегория из п-группы (соответственно элементарные абелевы п-группы, абелевы п-группы).

E^п(грамм) является пересечением всех индексов п нормальные подгруппы; грамм/E^п(грамм) является элементарной абелевой группой и является наибольшей элементарной абелевой группой. п-группа, на которую грамм сюрпризы.
А^п(грамм) (обозначение из (Айзекс 2008, 5Д, с. 164)) является пересечением всех нормальных подгрупп K такой, что грамм/K абелева п-группа (т.е. K это индекс ${ displaystyle p ^ {k}}$ нормальная подгруппа, содержащая производную группу ${ displaystyle [G, G]}$ ): грамм/А^п(грамм) - наибольший абелев п-группа (не обязательно элементарная), на которую грамм сюрпризы.
О^п(грамм) является пересечением всех нормальных подгрупп K из грамм такой, что грамм/K является (возможно, неабелевым) п-группа (т.е. K это индекс ${ displaystyle p ^ {k}}$ нормальная подгруппа): грамм/О^п(грамм) самый большой п-группа (не обязательно абелева), на которую грамм сюрпризы. О^п(грамм) также известен как п-остаточная подгруппа.

Во-первых, поскольку это более слабые условия на группы K, получить сдерживания ${ displaystyle mathbf {E} ^ {p} (G) supseteq mathbf {A} ^ {p} (G) supseteq mathbf {O} ^ {p} (G).}$ Далее они связаны как:

А^п(грамм) = О^п(грамм)[грамм,грамм].

О^п(грамм) имеет следующую альтернативную характеристику как подгруппа, порожденная всеми силовскими q-подгруппы грамм в качестве q≠п пробегает простые делители числа порядок из грамм в отличие от п.

О^п(грамм) используется для определения ниже п-серии из грамм, аналогично верхний п-серии описано в р-ядро.

Перенести гомоморфизм

В гомоморфизм переноса является гомоморфизмом, который может быть определен из любой группы грамм к абелевой группе ЧАС/[ЧАС,ЧАС] определяется подгруппой ЧАС ≤ грамм из конечный индекс, то есть [грамм:ЧАС] <∞. Карта переноса из конечной группы грамм в свой Силовский п-подгруппа имеет ядро это легко описать:

Ядро гомоморфизма переноса конечной группы грамм в свой Силовский п-подгруппа п имеет А^п(грамм) как его ядро, (Айзекс 2008, Теорема 5.20, с. 165).

Другими словами, «очевидный» гомоморфизм на абелев п-группа - фактически самый общий такой гомоморфизм.

Слияние

В слияние образец подгруппы ЧАС в грамм - отношение эквивалентности на элементах ЧАС где два элемента час, k из ЧАС находятся сплавлен если они грамм-сопряженные, то есть если есть грамм в грамм такой, что час = k^грамм. Нормальная структура грамм влияет на узор слияния его Силова п-подгруппы, и, наоборот, паттерн слияния его силовских п-подгруппа влияет на нормальную структуру грамм, (Горенштейн, Лион и Соломон 1996, п. 89).

Фокальная подгруппа

Можно определить, как в (Айзекс 2008, п. 165) the фокусная подгруппа из ЧАС относительно грамм в качестве:

Foc_грамм(ЧАС) = ⟨ Икс⁻¹ у | Икс,у в ЧАС и Икс является грамм-сопряжен с у ⟩.

Эта фокусная подгруппа измеряет степень, в которой элементы ЧАС плавиться в грамм, в то время как предыдущее определение измеряло некоторые абелевы п-групповые гомоморфные образы группы грамм. Содержание теоремы о фокальной подгруппе состоит в том, что эти два определения фокальной подгруппы совместимы.

(Горенштейн 1980, п. 246) показывает, что фокусная подгруппа из п в грамм это пересечение п∩[грамм,грамм] Силовского п-подгруппа п конечной группы грамм с производная подгруппа [грамм,грамм] из грамм. Фокальная подгруппа важна, так как это силовская п-подгруппа производной подгруппы. Также получается следующий результат:

Существует нормальная подгруппа K из грамм с грамм/K ан абелевский п-группа изоморфен п/п∩[грамм,грамм] (здесь K обозначает А^п(грамм)), и

если K нормальная подгруппа грамм с грамм/K абелева p-группа, то п∩[грамм,грамм] ≤ K, и грамм/K является гомоморфным образом п/п∩[грамм,грамм], (Горенштейн 1980, Теорема 7.3.1, с. 90).

Формулировка теоремы

Фокальная подгруппа конечной группы грамм с Силовым п-подгруппа п дан кем-то:

п∩[грамм,грамм] = п∩А^п(грамм) = пKer (v) = Foc_грамм(п) = ⟨ Икс⁻¹ у | Икс,у в п и Икс является грамм-сопряжен с у ⟩

куда v гомоморфизм переноса из грамм к п/[п,п], (Айзекс 2008, Теорема 5.21, с. 165).

История и обобщения

Эта связь между переносом и слиянием приписывается (Хигман 1958),^[1] где, говоря иным языком, теорема о фокальной подгруппе была доказана вместе с различными обобщениями. Требование, чтобы грамм/K be abelian был исключен, так что Хигман также изучал О^п(грамм) и нильпотентный остаток γ_∞(грамм), так называемый гиперфокальные подгруппы. Хигман также не ограничился одним простым числом. п, но скорее разрешено π-группы для множеств простых чисел π и использовал Филип Холлтеорема о Холловы подгруппы чтобы доказать аналогичные результаты о переводе в Холл π-подгруппы; принимая π = {п} зал π-подгруппа - силовская п-подгруппа, а результаты Хигмана представлены выше.

Интерес к гиперфокальным подгруппам возобновили работы (Puig 2000) в понимании модульная теория представлений определенных блоков с хорошим поведением. Гиперфокальная подгруппа п в грамм можно определить как п∩γ_∞(грамм) то есть как силовский п-подгруппа нильпотентной невязки грамм. Если п силовский п-подгруппа конечной группы грамм, то получаем стандартную теорему о фокальной подгруппе:

п∩γ_∞(грамм) = п∩О^п(грамм) = ⟨ Икс⁻¹ у : Икс,у в п и у = Икс^грамм для некоторых грамм в грамм порядка взаимно простой с п ⟩

и местная характеристика:

п∩О^п(грамм) = ⟨ Икс⁻¹ у : Икс,у в Q ≤ п и у = Икс^грамм для некоторых грамм гостиница_грамм(Q) порядка взаимно просто п ⟩.

Это можно сравнить с локальной характеристикой фокальной подгруппы как:

п∩А^п(грамм) = ⟨ Икс⁻¹ у : Икс,у в Q ≤ п и у = Икс^грамм для некоторых грамм гостиница_грамм(Q) ⟩.

Пуиг интересуется обобщением этой ситуации на термоядерные системы, а категоричный модель слияния силовского п-подгруппа по отношению к конечной группе, которая также моделирует шаблон слияния дефектной группы п-блок в теории модульных представлений. Фактически, термоядерные системы нашли ряд удивительных применений и вдохновения в области алгебраическая топология известный как эквивариантный теория гомотопии. Некоторые из основных алгебраических теорем в этой области на данный момент имеют только топологические доказательства.

Другие характеристики

Различные математики представили методы вычисления фокальной подгруппы из более мелких групп. Например, влиятельная работа (Альперин 1967) развивает идею локального управления слиянием и в качестве примера приложения показывает, что:

п ∩ А^п(грамм) порождается коммутаторными подгруппами [Q, N_грамм(Q)] куда Q варьируется в зависимости от семьи C подгруппп

Выбор семьи C можно сделать разными способами (C это то, что называется «семейством слабого сопряжения» в (Альперин 1967)), и приводится несколько примеров: можно взять C быть всеми неединичными подгруппами п, или меньший выбор только перекрестков Q = п ∩ п^грамм за грамм в грамм в котором N_п(Q) и н_{п^грамм}(Q) оба силовские п-подгруппы в N_грамм(Q). Последний выбор сделан в (Горенштейн 1980, Теорема 7.4.1, с. 251). Работа (Грюн 1935) изучили аспекты переноса и слияния, в результате Первая теорема Грюна:

п ∩ А^п(грамм) порождается п ∩ [N, N] и п ∩ [Q, Q] куда N = N_грамм(п) и Q колеблется над множеством силовских п-подгруппы Q = п^грамм из грамм (Горенштейн 1980, Теорема 7.4.2, с. 252).

Приложения

Презентации учебников в (Роза 1978, стр. 254–264)., (Айзекс 2008, Глава 5), (Зал 1959, Глава 14), (Сузуки 1986, §5.2, стр. 138–165), все они содержат различные приложения теоремы о фокальной подгруппе, относящиеся к слиянию, переносу и определенному виду расщепление называется п-нильпотенция.

В ходе Теорема Альперина – Брауэра – Горенштейна. классификация конечных простые группы с квазидиэдральный Силовские 2-подгруппы, возникает необходимость различать четыре типа групп с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами: 2-нильпотентные группы, Qгруппы, фокальная подгруппа которых обобщенная группа кватернионов индекса 2 Dгруппы -типа, фокальная подгруппа a группа диэдра индекса 2, а QDгруппы -типа, фокальной подгруппой которых является вся квазидиэдральная группа. В терминах слияния 2-нильпотентные группы имеют 2 класса инволюций и 2 класса циклических подгрупп порядка 4; в Q-тип имеет 2 класса инволюций и один класс циклической подгруппы порядка 4; в QD-типа имеют по одному классу инволюций и циклических подгрупп порядка 4. Другими словами, конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами могут быть классифицированы в соответствии с их фокальной подгруппой или, что эквивалентно, в соответствии с их паттернами слияния. Явные списки групп с каждым шаблоном слияния содержатся в (Альперин, Брауэр и Горенштейн 1970).

Примечания

^ Теорема о фокальной подгруппе и / или фокальной подгруппе обусловлена (Хигман 1958) в соответствии с (Горенштейн, Лион и Соломон 1996, п. 90), (Роза 1978, п. 255), (Сузуки 1986, п. 141); однако теорема о фокальных подгруппах, изложенная здесь и здесь, немного старше и уже представлена в форме учебника в (Зал 1959, п. 215). Там и в (Puig 2000) идеи приписываются (Грюн 1935); сравнить с (Грюн 1935, Сатц 5) в частном случае п-нормальные группы, и общий результат из Satz 9, который в некотором смысле является уточнением теоремы о фокальной подгруппе.

Navigation