WikiDer > Лемма Фростмана

В математика, а точнее, в теория фрактальных размерностей, Лемма Фростмана предоставляет удобный инструмент для оценки Хаусдорфово измерение наборов.

Лемма: Позволять А быть Борель подмножество р^п, и разреши s > 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• ЧАС^s(А)> 0, где ЧАС^s обозначает s-размерный Мера Хаусдорфа.
• Есть (беззнаковый) Мера Бореля μ удовлетворение μ(А)> 0 и такое, что

${displaystyle mu (B (x, r)) leq r ^ {s}}$

относится ко всем Икс ∈ р^п и р>0.

Отто Фростман доказал эту лемму для замкнутых множеств А в рамках его докторской диссертации в Лундский университет в 1935 г. Обобщение на борелевские множества более сложно и требует теории Суслин наборы.

Полезное следствие из леммы Фростмана требует понятия s-емкость борелевского набора А ⊂ р^п, который определяется

${displaystyle C_ {s} (A): = sup {Bigl {} {Bigl (} int _ {A imes A} {frac {dmu (x), dmu (y)} {| xy | ^ {s}}} {Bigr)} ^ {- 1}: mu {ext {- мера Бореля и}} mu (A) = 1 {Bigr}}.}$

(Здесь мы берем inf ∅ = ∞ и¹⁄_∞ = 0. Как и раньше, мера ${displaystyle mu}$ без знака.) Из леммы Фростмана следует, что для Бореля А ⊂ р^п

${displaystyle mathrm {dim} _ {H} (A) = sup {sgeq 0: C_ {s} (A)> 0}.}$

использованная литература

• Маттила, Пертти (1995), Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах, Кембриджские исследования в области высшей математики, 44, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-65595-8, Г-Н 1333890

Эта математический анализ–Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это. v т е