WikiDer > Gårding домен

Gårding domain

В математика, а Gårding домен это концепция в теория представлений из топологические группы. Концепция названа в честь математик Ларс Гординг.

Позволять грамм - топологическая группа и пусть U быть сильно непрерывный унитарное представительство из грамм в отделяемый Гильбертово пространство ЧАС. Обозначим через грамм семья всех однопараметрические подгруппы из грамм. Для каждого δ = { δ(т) | т ∈ р } ∈ грамм, позволять U(δ) обозначают самосопряженный генератор унитарной однопараметрической подгруппы {U(δ(т)) | т ∈ р }. А Gårding домен за U это линейное подпространство из ЧАС то есть U(грамм)- и U(δ)-инвариантный для всех грамм ∈ грамм и δ ∈ грамм а также является областью существенная самосопряженность за U

В 1947 году Гординг показал, что если грамм это Группа Ли, то область Гординга для U состоящий из бесконечно дифференцируемых векторов существует для каждого непрерывного унитарного представления грамм. В 1961 году Кац распространил этот результат на произвольные локально компактный топологические группы. Однако эти результаты непросто распространить на нелокально компактный случай из-за отсутствия Мера Хаара о группе. В 1996 г. Даниленко доказал следующий результат для групп грамм это можно записать как индуктивный предел возрастающей последовательности грамм1 ⊆ грамм2 ⊆ ... локально компактных второй счетный подгруппы:

Позволять U - сильно непрерывное унитарное представление грамм в сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС. Тогда существует отделимая ядерный Montel space F и непрерывный, биективный, линейная карта J : F → ЧАС такой, что

  • в двойное пространство из F, обозначаемый F∗, имеет структуру отделимого Fréchet space относительно сильной топологии двойственного спаривания (F∗, F);
  • образ J, я(J), является плотный в ЧАС;
  • для всех грамм ∈ грамм, U(грамм)(я(J)) = im (J);
  • для всех δ ∈ грамм, U(δ)(я(J)) ⊆ im (J) и я(J) является областью существенной самосопряженности для U(δ);
  • для всех грамм ∈ грамм, J−1U(грамм)J является непрерывным линейным отображением из F себе;
  • кроме того, карта грамм → Линь (F; F) принимая грамм к J−1U(грамм)J непрерывна относительно топологии на грамм и слабая операторная топология на Lin (F; F).

Космос F известен как сильное пространство Гординга за U и я(J) называется сильная область Гординга за U. При сделанных выше предположениях о грамм есть естественный Алгебра Ли структура на грамм, поэтому имеет смысл называть грамм алгебра Ли грамм.

Рекомендации

  • Даниленко, Александр I. (1996). «Области Гординга для унитарных представлений счетных индуктивных пределов локально компактных групп». Мат. Физ. Анальный. Geom. 3: 231–260.
  • Гординг, Ларс (1947). «Заметка о непрерывных представлениях групп Ли». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 33 (11): 331–332. Дои:10.1073 / pnas.33.11.331. ЧВК 1079067. PMID 16588760.
  • Кац, Г. (1961). «Обобщенные функции на локально компактной группе и разложение унитарного представления». Труды Моск. Мат. Общ. (на русском). 10: 3–40.