WikiDer > G-ожидание

В теория вероятности, то g-ожидание это нелинейное ожидание основанный на обратном стохастическое дифференциальное уравнение (BSDE) изначально разработан Шиге Пэн.^[1]

Определение

Учитывая вероятностное пространство ${ Displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ с ${ Displaystyle (W_ {т}) _ {т geq 0}}$ это (d-размерный) Винеровский процесс (на этом месте). Учитывая фильтрация создано ${ displaystyle (W_ {t})}$, т.е. ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} = sigma (W_ {s}: s in [0, t])}$, позволять ${ displaystyle X}$ быть ${ Displaystyle { mathcal {F}} _ {T}}$ измеримый. Рассмотрим BSDE, задаваемый:

${ displaystyle { begin {align} dY_ {t} & = g (t, Y_ {t}, Z_ {t}) , dt-Z_ {t} , dW_ {t} Y_ {T} & = X end {выровнено}}}$

Тогда g-ожидание для ${ displaystyle X}$ дан кем-то ${ displaystyle mathbb {E} ^ {g} [X]: = Y_ {0}}$. Обратите внимание, что если ${ displaystyle X}$ является м-мерный вектор, то ${ displaystyle Y_ {t}}$ (за каждый раз ${ displaystyle t}$) является м-мерный вектор и ${ displaystyle Z_ {t}}$ является ${ displaystyle m times d}$ матрица.

Фактически условное ожидание дан кем-то ${ displaystyle mathbb {E} ^ {g} [X mid { mathcal {F}} _ {t}]: = Y_ {t}}$ и, как и формальное определение условного ожидания, следует, что ${ displaystyle mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} mathbb {E} ^ {g} [X mid { mathcal {F}} _ {t}]] = mathbb {E} ^ {g} [1_ {A} X]}$ для любого ${ displaystyle A in { mathcal {F}} _ {t}}$ (и ${ displaystyle 1}$ функция - это индикаторная функция).^[1]

Существование и уникальность

Позволять ${ displaystyle g: [0, T] times mathbb {R} ^ {m} times mathbb {R} ^ {m times d} to mathbb {R} ^ {m}}$ удовлетворить:

1. ${ Displaystyle г ( cdot, y, z)}$ является ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$-адаптированный процесс для каждого ${ displaystyle (y, z) in mathbb {R} ^ {m} times mathbb {R} ^ {m times d}}$
2. ${ displaystyle int _ {0} ^ {T} | g (t, 0,0) | , dt in L ^ {2} ( Omega, { mathcal {F}} _ {T}, mathbb {P})}$ то L2 пространство (куда ${ displaystyle | cdot |}$ это норма в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$)
3. ${ displaystyle g}$ является Липшицева непрерывная в ${ displaystyle (y, z)}$, т.е. для каждого ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2} in mathbb {R} ^ {m}}$ и ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2} in mathbb {R} ^ {m times d}}$ следует, что ${ displaystyle | g (t, y_ {1}, z_ {1}) - g (t, y_ {2}, z_ {2}) | leq C (| y_ {1} -y_ {2} | + | z_ {1} -z_ {2} |)}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle C}$

Тогда для любой случайной величины ${ Displaystyle X в L ^ {2} ( Omega, { mathcal {F}} _ {t}, mathbb {P}; mathbb {R} ^ {m})}$ существует единственная пара ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$-адаптированные процессы ${ displaystyle (Y, Z)}$ которые удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению.^[2]

В частности, если ${ displaystyle g}$ дополнительно удовлетворяет:

1. ${ displaystyle g}$ непрерывно во времени (${ displaystyle t}$)
2. ${ Displaystyle г (т, у, 0) эквив 0}$ для всех ${ Displaystyle (т, у) в [0, Т] раз mathbb {R} ^ {m}}$

тогда для конечной случайной величины ${ Displaystyle X в L ^ {2} ( Omega, { mathcal {F}} _ {t}, mathbb {P}; mathbb {R} ^ {m})}$ следует, что решение обрабатывает ${ displaystyle (Y, Z)}$ квадратично интегрируемы. Следовательно ${ Displaystyle mathbb {E} ^ {g} [X | { mathcal {F}} _ {t}]}$ квадратично интегрируем во все времена ${ displaystyle t}$.^[3]

Смотрите также

• Ожидаемое значение
• Ожидание шоке
• Мера риска - практически любой время согласовано выпуклая мера риска можно записать как ${ Displaystyle rho _ {g} (X): = mathbb {E} ^ {g} [- X]}$^[4]

Рекомендации