WikiDer > Процесс Гаусса – Маркова

Случайные процессы Гаусса – Маркова. (названный в честь Карл Фридрих Гаусс и Андрей Марков) находятся случайные процессы которые удовлетворяют требованиям как для Гауссовские процессы и Марковские процессы.^[1][2] Стационарный процесс Гаусса – Маркова уникален.^{[нужна цитата]} вплоть до масштабирования; такой процесс также известен как Процесс Орнштейна – Уленбека.

Каждый процесс Гаусса – Маркова Икс(т) обладает тремя следующими свойствами:

1. Если час(т) - ненулевая скалярная функция от т, тогда Z(т) = час(т)Икс(т) также является процессом Гаусса – Маркова
2. Если ж(т) - неубывающая скалярная функция от т, тогда Z(т) = Икс(ж(т)) также является процессом Гаусса – Маркова
3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднем квадратическом, то существует ненулевая скалярная функция час(т) и строго возрастающей скалярной функцией ж(т) такие, что Икс(т) = час(т)W(ж(т)), где W(т) является стандартным Винеровский процесс

.^[3]

Свойство (3) означает, что любой невырожденный среднеквадратичный непрерывный процесс Гаусса – Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса (SWP).

Свойства

Стационарный процесс Гаусса – Маркова с отклонение ${ displaystyle { textbf {E}} (X ^ {2} (t)) = sigma ^ {2}}$ и постоянная времени ${ displaystyle beta ^ {- 1}}$ обладает следующими свойствами.

Экспоненциальный автокорреляция:

${ displaystyle { textbf {R}} _ {x} ( tau) = sigma ^ {2} e ^ {- beta | tau |}. ,}$

Сила спектральная плотность (PSD), которая имеет ту же форму, что и Распределение Коши:

${ displaystyle { textbf {S}} _ {x} (j omega) = { frac {2 sigma ^ {2} beta} { omega ^ {2} + beta ^ {2}}} . ,}$

(Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными факторами.)

Приведенное выше дает следующую спектральную факторизацию:

${ displaystyle { textbf {S}} _ {x} (s) = { frac {2 sigma ^ {2} beta} {- s ^ {2} + beta ^ {2}}} = { frac {{ sqrt {2 beta}} , sigma} {(s + beta)}} cdot { frac {{ sqrt {2 beta}} , sigma} {(- s + бета)}}.}$

что важно в Винеровская фильтрация и другие области.

Из всего вышеперечисленного также есть несколько банальных исключений.^{[требуется разъяснение]}

использованная литература