WikiDer > Гауссовская гравитационная постоянная

Gaussian gravitational constant
Карл Фридрих Гаусс представил миру свою константу в 1809 г. Теория Мотус.
Пиацци открытие Церера, описанный в его книге Della scoperta del nuovo pianeta Cerere Ferdinandea, продемонстрировала полезность гауссовой гравитационной постоянной для прогнозирования положения объектов в Солнечной системе.

В Гауссовская гравитационная постоянная (символ k) - параметр, используемый в орбитальная механика из Солнечная система.Это связывает орбитальный период с орбитальным большая полуось и масса орбитального тела в Солнечные массы.

Значение k исторически выражает среднее угловая скорость системы Земля + Луна и Солнце рассматривается как проблема двух тел, со значением около 0,986 градусы на день, или около 0,0172 радианы в сутки. Закон всемирного тяготения Ньютона и Третий закон Кеплера, k прямо пропорциональна квадратному корню из стандартный гравитационный параметр из солнце, а его значение в радианах в сутки следует путем установки большой полуоси Земли ( астрономическая единица, а.е.) к единице, k: (рад / д) = (граммM)0.5· Au−1.5.

Ценность k = 0.01720209895 рад / день определялось Карл Фридрих Гаусс в его работе 1809 года Theoria Motus Corporum Coelestium в Sectionibus Conicis Solem Ambientum («Теория движения небесных тел, движущихся вокруг Солнца в конических сечениях»).[1]Значение Гаусса было введено как фиксированное, определенное значение IAU (принята в 1938 г., официально определена в 1964 г.), что отделило его от непосредственного представления (наблюдаемой) средней угловой скорости системы Солнце-Земля. Вместо этого астрономическая единица теперь стало измеряемой величиной, немного отличной от единицы. Это было полезно в небесной механике 20-го века для предотвращения постоянной адаптации параметров орбиты к обновленным измеренным значениям, но это произошло за счет интуитивности, поскольку астрономическая единица, якобы единица измерения длина, теперь зависела от измерения силы сила гравитации.

IAU отказался от установленного значения k в 2012 году в пользу определенного значения астрономической единицы 1.495978707×1011 м точно, в то время как сила гравитационной силы теперь должна быть выражена в отдельных стандартный гравитационный параметр граммM, измеряется в Единицы СИ м3⋅s−2.[2]

Обсуждение

Постоянная Гаусса получается из применения Третий закон Кеплера системе Земля + Луна и Солнце, рассматриваемой как проблема двух тел, относящиеся к периоду революции (п) к большой полуоси орбиты (а) и полной массой орбитальных тел (MЕго числовое значение было получено путем установки большой полуоси и массы Солнца на единицу и измерения периода в средних солнечных днях:

k = 2π / (п а M ) ≈ 0,0172021 [рад], где:
п ≈ 365,256 [дней], M = (M+M+M) ≈ 1.00000304 [M], и а = 1 по определению.

Значение представляет собой среднее угловое движение системы Земля-Солнце, в радианы на день, что эквивалентно значению чуть ниже одна степень (деление круга на 360 градусов в Вавилонская астрономия вероятно, предполагалось как приблизительное количество дней в солнечном году[3]). Поправка за счет деления на корень квадратный из M отражает тот факт, что система Земля-Луна вращается не вокруг самого Солнца, а центр массы системы.

Исаак Ньютон сам определил значение этой константы, которое согласовывалось со значением Гаусса с точностью до шести значащих цифр.[4]Гаусс (1809) дал значение с девятью значащими цифрами, как 3548.18761 угловые секунды.

Поскольку все задействованные параметры, орбитальный период, Земля-Солнце соотношение масс, то большая полуось и длина средний солнечный день, подлежат все более точным измерениям, точное значение константы со временем придется пересматривать. Но поскольку константа участвует в определении орбитальных параметров всех других тел Солнечной системы, было обнаружено, что удобнее установить ее на фиксированное значение, по определению, подразумевая, что значение а будет отклоняться от единицы. k = 0,01720209895 [рад] было принято значение, установленное Гауссом (преобразовано из градусов в радиан), так что а = 4π2:(k2 п2 M) ≈ 1.[5]

Таким образом, значение константы Гаусса 1809 года использовалось в качестве авторитетного справочного значения для орбитальная механика из Солнечная система в течение двух столетий. С момента его появления до 1938 года он считался измеряемой величиной, а с 1938 по 2012 год он использовался как определенная величина, при этом неопределенность измерения делегировалась величине астрономическая единица. Определенное значение k был оставлен IAU в 2012 г. и использование k устарел, чтобы быть замененным фиксированным значением астрономической единицы, а (измеренное) количество стандартный гравитационный параметр граммM.

Роль как определяющая константа динамики Солнечной системы

Сам Гаусс констатировал константу в угловые секунды, с девятью значащими цифрами, как k = 3548″.18761В конце 19 века это значение было принято и преобразовано в радиан, к Саймон Ньюкомб, так как k = 0.01720209895.[6] и в этой форме константа появляется в его Таблицы Солнца, опубликовано в 1898 году.[7]

Работа Ньюкомба была широко признана лучшей на тот момент.[8] и его значения констант были включены в большое количество астрономических исследований. Из-за этого стало трудно отделить константы от исследования; новые значения констант сделали бы, по крайней мере частично, недействительным большой объем работы. Следовательно, после образования Международный астрономический союз в 1919 году некоторые константы стали постепенно восприниматься как «фундаментальные»: определяющие константы, из которых были получены все остальные. В 1938 году VI Генеральная ассамблея IAU объявил,

В качестве постоянной Гаусса примем значение

k = 0.017202098950000

единицей времени являются средние солнечные сутки 1900,0[9]

Однако никаких дальнейших попыток установить набор констант не предпринималось до 1950 года.[10] Симпозиум МАС по системе констант был проведен в Париже в 1963 году, частично в ответ на недавние события в освоении космоса.[6] Тогда участники наконец решили установить согласованный набор констант. В Резолюции 1 говорилось, что

Новая система должна определяться неизбыточным набором фундаментальных констант и явными отношениями между ними и константами, производными от них.

Рекомендуемое разрешение 4

что рабочая группа должна рассматривать следующие величины как фундаментальные константы (в смысле Резолюции № 1).

В список фундаментальных констант был включен

Гауссовская постоянная гравитации, определенная VI Генеральной ассамблеей I.A.U. в 1938 г., имея значение 0,017202098950000.[6]

Эти резолюции были приняты рабочей группой МАС, которая в своем отчете рекомендовала две определяющие константы, одна из которых была

Гауссова гравитационная постоянная, определяющая а.е. k = 0.01720209895[6]

Впервые официально признана роль постоянной Гаусса в масштабе Солнечной системы. Рекомендации рабочей группы были приняты на XII Генеральной ассамблее МАС в Гамбурге, Германия, в 1964 году.[11]

Определение астрономической единицы

Гаусс намеревался определить свою постоянную с использованием среднего расстояния[примечание 1] Земли от Солнца 1 астрономическая единица именно так.[6] С принятием резолюций 1964 года МАС, по сути, сделал противоположное: определил константу как фундаментальную, а астрономическую единицу как производную, при этом другие переменные в определении уже были зафиксированы: масса (Солнца) и время. (день 86400 секунд). Это перенесло неопределенность гравитационной постоянной в неопределенность большой полуоси системы Земля-Солнце, которая больше не равнялась точно одной а.е. (а.е. определяется как зависящая от значения гравитационной постоянной). таким образом, она стала измеряемой величиной, а не определенной, фиксированной.[12]

В 1976 году МАС подтвердил статус гауссовой постоянной на XVI Генеральной ассамблее в Гренобле.[13] объявив его определяющей константой, и что

Астрономическая единица длины - это длина (А), для которого гауссова гравитационная постоянная (k) принимает значение 0.01720209895 когда единицы измерения - астрономические единицы длины, массы и времени. Размеры k2 принадлежат постоянной гравитации (грамм), т.е. L3M−1Т−2. Термин «единичное расстояние» также используется для обозначения длины (А).

Исходя из этого определения, среднее расстояние Земли от Солнца составляет 1.00000003 au, но с возмущениями со стороны других планет, которые не сходятся во времени до нуля, среднее расстояние составляет 1.0000002 au.[6]

Отказ

В 2012 году МАС, как часть нового согласованного набора единиц и числовых стандартов для использования в современной динамической астрономии, пересмотрел определение астрономическая единица в качестве[14]

условная единица длины, равная 149597870700 м точно, ...... учитывая, что точность современных измерений дальности делает ненужным использование отношения расстояний

и поэтому отказались от гауссовой постоянной как косвенного определения масштаба в Солнечной системе, рекомендуя

что гравитационная постоянная Гаусса k исключить из системы астрономических констант.

Значение k на основе определенного значения для астрономической единицы теперь будет зависеть от неопределенности измерения стандартный гравитационный параметр,

Единицы и размеры

k дается в виде безразмерной доли порядка 1,7%, но ее можно считать эквивалентной квадратному корню из гравитационная постоянная,[15] в этом случае он имеет единицы au32⋅d−1M−​12,[6] куда

au это расстояние для которого k принимает значение, определенное Гауссом - расстояние до невозмутимый круговая орбита гипотетического безмассового тела, орбитальный период является /k дни,[12]
d - это средний солнечный день (86400 секунд),
M это масса из солнце.

Следовательно размеры из k находятся[16]

длина32 время−1 масса−​12 или же L32 Т−1 M−​12.

Несмотря на это k известен с гораздо большей точностью, чем грамм (или квадратный корень из граммАбсолютное значение грамм известно с точностью около 10−4, но продукт граммM (гравитационный параметр Солнца) известен с точностью лучше 10−10.

Вывод

Оригинал Гаусса

Гаусс начинает свой Теория Мотус представив без доказательства несколько законов, касающихся движения тел вокруг Солнца.[1] Позже в тексте он упоминает, что Пьер-Симон Лаплас подробно рассматривает их в своем Mécanique Céleste.[17] Последние два закона Гаусса следующие:

Далее он определяет:

  • 2п как параметр (т.е. прямая кишка) орбиты тела,
  • μ как масса тела, где масса Солнца = 1,
  • 1/2грамм как область, охваченная линией, соединяющей Солнце и тело,
  • т как время подметания этой области,

и заявляет, что

"постоянна для всех небесных тел". Он продолжает: «Неважно, какое тело мы используем для определения этого числа», и поэтому использует Землю, определяя

  • единичное расстояние = среднее расстояние от Земли (то есть большая полуось) от солнца,
  • единица времени = одна солнечная день.

Он заявляет, что область, которую Земля выметает на своей орбите, «очевидно будет» πп, и использует это, чтобы упростить свою константу до

Здесь он называет константу k и подключение некоторых измеренных значений, т = 365.2563835 дни, μ = 1/354710 солнечные массы, достигает результата k = 0.01720209895.

В современных условиях

Гаусс печально известен тем, что упускает детали, и этот вывод не является исключением. Здесь он повторяется в современной терминологии, уточняя некоторые детали.

Определить без доказательства

куда[18]

Затем определите

куда[19]

Обратите внимание, что каждая переменная в приведенных выше уравнениях является константой для движения двух тел. Объединяя эти два определения,

это то, что Гаусс описывал в последнем из своих законов. Принимая квадратный корень,

и решение для грамм,

На этом этапе определите kграмм.[2] Позволять dA быть всей областью, охватываемой телом по орбите, следовательно dA = πab, площадь эллипс, куда а это большая полуось и б это малая полуось. Позволять dt = п, время, за которое тело совершит один оборот. Таким образом,

Здесь Гаусс решает использовать Землю для решения k. Из геометрии эллипс, п = б2/а.[20] Установив большую полуось Земли, а = 1, п сводится к б2 и п = б. Подставив, площадь эллипса "очевидно" πп, скорее, чем πab. Помещая это в числитель уравнения для k и сокращение,

Обратите внимание, что Гаусс, нормализовав размер орбиты, полностью исключил ее из уравнения. Далее нормализуя, установите массу Солнца равной 1,

где сейчас м в солнечные массы. Осталось две величины: п, то период орбиты Земли или звездный годвеличина, известная точным измерением на протяжении веков, и м, масса системы Земля – Луна. Снова вставляя измеренные значения, как они были известны во времена Гаусса, п = 365.2563835 дни, м = 1/354710 солнечные массы,[требуется разъяснение] дающий результат k = 0.01720209895.

Постоянная Гаусса и третий закон Кеплера

Постоянная Гаусса тесно связана с Третий закон движения планет Кеплера, и одно легко получается из другого. Начиная с полного определения постоянной Гаусса,

куда

Из геометрии эллипс, полу-латусная прямая кишка, п можно выразить через а и б таким образом: п = б2/а.[20] Следовательно,

Подставляя и уменьшая, постоянная Гаусса принимает вид

Из орбитальная механика, /п просто п, то среднее движение тела на своей орбите.[18] Следовательно,

что является определением третьего закона Кеплера.[19][21] В этой форме часто встречается с грамм, то Ньютоновская гравитационная постоянная на месте k2.

Параметр а = 1, M = 1, мM, и п в радианы на день приводит к kп, также в радианах в день, о которых см. соответствующий раздел среднее движение статья.

Другие определения

Значение постоянной Гаусса в том виде, в каком он получено, использовалось со времен Гаусса, поскольку, как описано выше, считалось фундаментальной постоянной. В солнечная масса, средний солнечный день и звездный год Все значения, которыми Гаусс определил свою константу, медленно меняются. Если современные[требуется разъяснение] значения были вставлены в определяющее уравнение, значение 0.01720209789 в результате.[сомнительный ][22]

Также можно установить гравитационную постоянную, массу Солнца и астрономическую единицу равными 1. Это определяет единицу времени, с которой период результирующей орбиты равен . Их часто называют канонические единицы.[22]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Исторически,[нужна цитата] период, термин среднее расстояние использовался взаимозаменяемо с эллиптическим параметром большая полуось. Это не относится к фактическому среднему расстоянию.
  2. ^ Не путайте μ гравитационный параметр в обозначениях Гаусса для массы тела.

Рекомендации

  1. ^ а б Гаусс, Карл Фридрих; Дэвис, Чарльз Генри (1857). Теория движения небесных тел, движущихся вокруг Солнца в конических сечениях. Бостон: Литтл, Браун и компания. п.2.
  2. ^ а б Смарт, У. М. (1953). Небесная механика. Лондон: Longmans, Green and Co., стр. 4.
  3. ^ Дэвид Х. Келли, Юджин Ф. Милон, Изучение древнего неба: обзор древней и культурной астрономии (2011), п. 219
  4. ^ «Числовое значение постоянной Гаусса было определено самим Ньютоном за 120 лет до Гаусса. Оно согласуется с современным значением до шести значащих цифр. Следовательно, название« постоянная Гаусса »следует рассматривать как дань уважения заслугам Гаусса перед небесной механикой. в целом, вместо указания приоритета в определении числового значения гравитационной постоянной, используемой в небесной механике, как это иногда рассматривается при обращении к его работе ». Загитов (1970: 713).
  5. ^ Сагитов М. У. "Современное состояние определений гравитационной постоянной и массы Земли", Советская астрономия, т. 13 (1970), 712–718, пер. С Астрономический журнал Vol. 46, № 4 (июль – август 1969 г.), 907–915.
  6. ^ а б c d е ж грамм Клеменс, Г. М. (1965). «Система астрономических констант». Ежегодный обзор астрономии и астрофизики. 3: 93. Bibcode:1965ARA & A ... 3 ... 93C. Дои:10.1146 / annurev.aa.03.090165.000521.
  7. ^ «Принятое значение постоянной Гаусса - это значение самого Гаусса, а именно: k = 3548″.18761 = 0.01720209895".Ньюкомб, Саймон (1898). «I, Таблицы движения Земли по оси и вокруг Солнца». Астрономические статьи, подготовленные для использования в американских эфемеридах и морском альманахе. VI. Бюро оборудования военно-морского ведомства. п. 10.
  8. ^ де Ситтер, В .; Брауэр, Д. (1938). «О системе астрономических констант». Бюллетень астрономических институтов Нидерландов. 8: 213. Bibcode:1938БАН ..... 8..213D.
  9. ^ «Резолюции VI Генеральной ассамблеи Международного астрономического союза, Стокгольм, 1938 г.» (PDF)..До 1940-х гг. второй Сам по себе был определен как часть среднего солнечного дня, так что средний солнечный день по определению составлял 86400 с (после переопределения секунды средний солнечный день был измеренной величиной, колеблющейся между 86 400 000 и 86 400,003 с) , видеть День.
  10. ^ Уилкинс, Г. А. (1964). «Система астрономических констант. Часть I». Ежеквартальный журнал Королевского астрономического общества. 5: 23. Bibcode:1964QJRAS ... 5 ... 23Вт.
  11. ^ «Резолюции XII Генеральной ассамблеи Международного астрономического союза, Гамбург, Германия, 1964 г.» (PDF).
  12. ^ а б Херрик, Сэмюэл (1965). «Фиксация гауссовой гравитационной постоянной и соответствующей геоцентрической гравитационной постоянной». Материалы симпозиума МАС № 21 год: 95. Bibcode:1965IAUS ... 21 ... 95H.
  13. ^ «Резолюции XVI Генеральной Ассамблеи Международного астрономического союза, Гренобль, Франция, 1976 г.» (PDF).
  14. ^ «Резолюции XXVIII Генеральной ассамблеи Международного астрономического союза, 2012 г.» (PDF).
  15. ^ Военно-морская обсерватория США, Управление морского альманаха; H.M. Управление морского альманаха (1961). Пояснительное приложение к астрономическим эфемеридам и американским эфемеридам и морскому альманаху. Лондон: H.M. Канцелярский офис. п. 493.
  16. ^ Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики. Нью-Йорк и Лондон: Academic Press. п.58.
  17. ^ Лаплас, Пьер Симон; Боудич, Натаниэль (1829). Mécanique Céleste. Бостон: Хиллиард, Грей, Литтл и Уилкинс.
  18. ^ а б Смарт, У. М. (1977). Учебник по сферической астрономии (6-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п.100. ISBN 0-521-29180-1.
  19. ^ а б Смарт, У. М. (1977). п. 101.
  20. ^ а б Смарт, У. М. (1977). п. 99.
  21. ^ Валладо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и приложений (2-е изд.). Эль-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. п. 31. ISBN 1-881883-12-4.
  22. ^ а б Дэнби, Дж. М. А. (1988). Основы небесной механики. Ричмонд, Вирджиния: Виллманн-Белл. п. 146. ISBN 0-943396-20-4.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка