WikiDer > Обобщенный геликоид

обобщенный геликоид: меридиан - парабола

В геометрии обобщенный геликоид поверхность в евклидовом пространстве, порожденная вращением и одновременным смещением кривой, кривая профилявдоль линии ось. Любая точка данной кривой - начальная точка круга. спираль. Если кривая профиля содержится в плоскости, проходящей через ось, она называется меридиан обобщенного геликоида. Простыми примерами обобщенных геликоидов являются геликоиды. Меридиан геликоида - это линия, которая ортогонально пересекает ось.

Основные типы обобщенных геликоидов:

• линейчатые обобщенные геликоиды. Их профильные кривые представляют собой линии, а поверхности - линейчатые поверхности.
• круговые обобщенные геликоиды. Их профильные кривые представляют собой круги.

В математике геликоиды играют важную роль как минимальные поверхности.В технической области используются обобщенные геликоиды для лестниц, горок, винтов и труб.

Аналитическое представление

винтовое движение точки
зеленый: смола,
синий: ось винта

Винтовое движение точки

Перемещение точки на кривой винтового типа означает, что точка поворачивается и смещается вдоль линии (оси), так что смещение пропорционально углу поворота. Получился круговой спираль.

Если ось - это zось, движение точки ${ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ можно описать параметрически

${ displaystyle mathbf {p} ( varphi) = { begin {pmatrix} x_ {0} cos varphi -y_ {0} sin varphi x_ {0} sin varphi + y_ {0 } cos varphi z_ {0} + c ; varphi end {pmatrix}} , varphi in mathbb {R} .}$

${ displaystyle c neq 0}$ называется наклонный, угол ${ displaystyle varphi}$, измеряемая в радианах, называется угол винта и ${ Displaystyle ч = с ; 2 пи}$ то подача (зеленый). След точки - это круговая спираль (красный). Он содержится на поверхности правый круговой цилиндр. Его радиус - это расстояние до точки ${ displaystyle P_ {0}}$ к z-ось.

В случае ${ displaystyle c> 0}$, спираль называется правша иначе левша.(В случае ${ displaystyle c = 0}$ движение - это вращение вокруг z-ось).

Винтовое движение кривой

Винтовое движение кривой

${ displaystyle mathbf {x} (t) = (x (t), y (t), z (t)) ^ {T}, t_ {1} leq t leq t_ {2} ,}$

дает обобщенный геликоид с параметрическим представлением

• ${ displaystyle mathbf {S} (t, varphi) = { begin {pmatrix} x (t) cos varphi -y (t) sin varphi x (t) sin varphi + y (t) cos varphi z (t) + c ; varphi end {pmatrix}} , quad t_ {1} leq t leq t_ {2}, varphi in mathbb {Р} .}$

Кривые ${ Displaystyle mathbf {S} (т = { текст {константа}}, varphi)}$ круговые спирали.
Кривые ${ Displaystyle mathbf {S} (т, varphi = { текст {константа}})}$ являются копиями данной профильной кривой.

Пример: На первом изображении выше меридиан парабола.

Правильные обобщенные геликоиды

правосторонний обобщенный геликоид: закрытый (слева) и открытый (справа)

косые типы: закрытый (слева) и открытый (справа)

касательный разворачивающийся тип: определение (слева) и пример

Типы

Если кривая профиля является линией, получается линейчатый обобщенный геликоид. Есть четыре типа:

(1) Прямая пересекает ось ортогонально. Один получает геликоид (закрыто справа линейчатый обобщенный геликоид).

(2) Линия пересекает ось, но нет ортогонально. Один получает косой закрытый тип.

Если заданная линия и ось являются наклонными линиями, получается открыто тип, а ось не является частью поверхности (см. рисунок).

(3) Если данная линия и ось являются наклонными линиями, и линия содержится в плоскости, перпендикулярной оси, получается прямо открытый типа или в ближайшее время открытый геликоид.

(4) Если линия и ось наклонены, а линия нет содержится в ... (s. 3), человек получает косо открытый тип.

Косые типы делают пересекаются (s. изображение), верно типов (геликоидов) нет.

Получается интересный случай, если линия наклонена к оси и произведению ее расстояния ${ displaystyle d}$ к оси и ее наклон ровно ${ displaystyle c}$. В этом случае поверхность представляет собой касательная разворачивающаяся поверхность и порождается директрисой${ Displaystyle (д соз varphi, d sin varphi, с varphi)}$.

Замечание:

1. Геликоиды (открытые и закрытые) - это Каталонские поверхности. Закрытый тип (обычный геликоид) - это даже коноид
2. Линейчатые обобщенные геликоиды не являются алгебраическими поверхностями.

О замкнутых линейчатых обобщенных геликоидах

на самопересечении замкнутых линейчатых обобщенных геликоидов

Замкнутый линейчатый обобщенный геликоид имеет линию профиля, пересекающую ось. Если линия профиля описывается ${ Displaystyle (т, 0, z_ {0} + м ; т) ^ {T}}$ получается следующее параметрическое представление

• ${ displaystyle mathbf {S} (t, varphi) = { begin {pmatrix} t cos varphi t sin varphi z_ {0} + mt + c varphi end {pmatrix} } .}$

Если ${ displaystyle m = 0}$ (обычный геликоид) поверхность делает нет пересекает себя.
Если ${ displaystyle m neq 0}$ (наклонный тип) поверхность пересекает сама себя и кривые (на поверхности)

${ Displaystyle mathbf {S} (t_ {я}, varphi)}$ с ${ displaystyle t_ {i} = { frac {h} {4m}} (2i + 1), i = 1,2, ldots}$

состоит из двойные очки. Существуют бесконечные двойные кривые. Меньший ${ displaystyle | m |}$ тем больше расстояния между двойными кривыми.

О касательном разворачивающемся типе

касательная складывающаяся: регулярные части (зелено-синий) и директриса (пурпурный)

Для директрисы (спирали)

${ displaystyle mathbf {x} ( varphi) = (г соз varphi, r sin varphi, c varphi) ^ {T}}$

получаем следующее параметрическое представление касательной развертывающейся поверхности:

• ${ displaystyle mathbf {S} (t, varphi) = mathbf {x} ( varphi) + t mathbf { dot {x}} ( varphi) = { begin {pmatrix} r cos varphi -tr sin varphi r sin varphi + tr cos varphi c (t + varphi) end {pmatrix}} .}$

Вектор нормали к поверхности равен

${ displaystyle mathbf {n} = mathbf {S} _ {t} times mathbf {S} _ { varphi} = mathbf { dot {x}} times ( mathbf { dot {x }} + t mathbf { ddot {x}}) = t ( mathbf { dot {x}} times mathbf { ddot {x}}) = t { begin {pmatrix} cr sin varphi - cr cos varphi r ^ {2} end {pmatrix}} .}$

За ${ displaystyle t = 0}$ нормальный вектор - это нулевой вектор. Следовательно, направляющая состоит из особых точек. Направляющая разделяет две регулярные части поверхности (см. Рисунок).

Круговые обобщенные геликоиды

меридиан - это круг

кривая профиля представляет собой горизонтальный круг

Есть 3 интересных типа круговых обобщенных геликоидов:

(1) Если круг является меридианом и не пересекает ось (см. Рисунок).

(2) Плоскость, содержащая круг, ортогональна спирали центров окружности. Один получает поверхность трубы

(3) Плоскость окружности ортогональна оси и составляет точку оси на ней (см. Рисунок). Этот тип использовался для колонн в стиле барокко.

• 

  лестница, Университет Мангейма, Германия

• 

  горка для труб Salinarium

• 

  алтарь (1688 г.), Святой Панкратий, Нойенфельде, Германия

Смотрите также

• Геликоид
• Минимальная поверхность
• Спираль
• Линейчатая поверхность
• Каталонская поверхность
• Коноид
• Поверхность революции

внешняя ссылка

• Гфрер: Kurven und Flächen, С. 47
• mathcurve.com: круговой обобщенный геликоид
• mathcurve.com: развиваемый обобщенный геликоид
• mathcurve.com: линейчатый обобщенный геликоид
• K3Dsurf: генератор трехмерных поверхностей

Рекомендации

• Эльза Аббена, Саймон Саламон, Альфред Грей:Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica, 3. издание, исследования по высшей математике, Chapman & Hall, 2006 г., ISBN 1584884487, п. 470
• Э. Крейсциг: Дифференциальная геометрия. Нью-Йорк: Довер, стр. 88, 1991.
• У. Граф, М. Барнер: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Гейдельберг, 1961 г., ISBN 3-494-00488-9, стр.218
• К. Штрубекер: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, Vandenhoek & Ruprecht, Göttingen, 1967, стр. 286