WikiDer > Обобщенный геликоид

Generalized helicoid
обобщенный геликоид: меридиан - парабола

В геометрии обобщенный геликоид поверхность в евклидовом пространстве, порожденная вращением и одновременным смещением кривой, кривая профилявдоль линии ось. Любая точка данной кривой - начальная точка круга. спираль. Если кривая профиля содержится в плоскости, проходящей через ось, она называется меридиан обобщенного геликоида. Простыми примерами обобщенных геликоидов являются геликоиды. Меридиан геликоида - это линия, которая ортогонально пересекает ось.

Основные типы обобщенных геликоидов:

  • линейчатые обобщенные геликоиды. Их профильные кривые представляют собой линии, а поверхности - линейчатые поверхности.
  • круговые обобщенные геликоиды. Их профильные кривые представляют собой круги.

В математике геликоиды играют важную роль как минимальные поверхности.В технической области используются обобщенные геликоиды для лестниц, горок, винтов и труб.

Аналитическое представление

винтовое движение точки
зеленый: смола,
синий: ось винта

Винтовое движение точки

Перемещение точки на кривой винтового типа означает, что точка поворачивается и смещается вдоль линии (оси), так что смещение пропорционально углу поворота. Получился круговой спираль.

Если ось - это zось, движение точки можно описать параметрически

называется наклонный, угол , измеряемая в радианах, называется угол винта и то подача (зеленый). След точки - это круговая спираль (красный). Он содержится на поверхности правый круговой цилиндр. Его радиус - это расстояние до точки к z-ось.

В случае , спираль называется правша иначе левша.(В случае движение - это вращение вокруг z-ось).

Винтовое движение кривой

Винтовое движение кривой

дает обобщенный геликоид с параметрическим представлением

Кривые круговые спирали.
Кривые являются копиями данной профильной кривой.

Пример: На первом изображении выше меридиан парабола.

Правильные обобщенные геликоиды

правосторонний обобщенный геликоид: закрытый (слева) и открытый (справа)
косые типы: закрытый (слева) и открытый (справа)
касательный разворачивающийся тип: определение (слева) и пример

Типы

Если кривая профиля является линией, получается линейчатый обобщенный геликоид. Есть четыре типа:

(1) Прямая пересекает ось ортогонально. Один получает геликоид (закрыто справа линейчатый обобщенный геликоид).
(2) Линия пересекает ось, но нет ортогонально. Один получает косой закрытый тип.

Если заданная линия и ось являются наклонными линиями, получается открыто тип, а ось не является частью поверхности (см. рисунок).

(3) Если данная линия и ось являются наклонными линиями, и линия содержится в плоскости, перпендикулярной оси, получается прямо открытый типа или в ближайшее время открытый геликоид.
(4) Если линия и ось наклонены, а линия нет содержится в ... (s. 3), человек получает косо открытый тип.

Косые типы делают пересекаются (s. изображение), верно типов (геликоидов) нет.

Получается интересный случай, если линия наклонена к оси и произведению ее расстояния к оси и ее наклон ровно . В этом случае поверхность представляет собой касательная разворачивающаяся поверхность и порождается директрисой.

Замечание:

  1. Геликоиды (открытые и закрытые) - это Каталонские поверхности. Закрытый тип (обычный геликоид) - это даже коноид
  2. Линейчатые обобщенные геликоиды не являются алгебраическими поверхностями.

О замкнутых линейчатых обобщенных геликоидах

на самопересечении замкнутых линейчатых обобщенных геликоидов

Замкнутый линейчатый обобщенный геликоид имеет линию профиля, пересекающую ось. Если линия профиля описывается получается следующее параметрическое представление

Если (обычный геликоид) поверхность делает нет пересекает себя.
Если (наклонный тип) поверхность пересекает сама себя и кривые (на поверхности)

с

состоит из двойные очки. Существуют бесконечные двойные кривые. Меньший тем больше расстояния между двойными кривыми.

О касательном разворачивающемся типе

касательная складывающаяся: регулярные части (зелено-синий) и директриса (пурпурный)

Для директрисы (спирали)

получаем следующее параметрическое представление касательной развертывающейся поверхности:

Вектор нормали к поверхности равен

За нормальный вектор - это нулевой вектор. Следовательно, направляющая состоит из особых точек. Направляющая разделяет две регулярные части поверхности (см. Рисунок).

Круговые обобщенные геликоиды

меридиан - это круг
кривая профиля представляет собой горизонтальный круг

Есть 3 интересных типа круговых обобщенных геликоидов:

(1) Если круг является меридианом и не пересекает ось (см. Рисунок).
(2) Плоскость, содержащая круг, ортогональна спирали центров окружности. Один получает поверхность трубы
(3) Плоскость окружности ортогональна оси и составляет точку оси на ней (см. Рисунок). Этот тип использовался для колонн в стиле барокко.

Смотрите также

внешняя ссылка

Рекомендации

  • Эльза Аббена, Саймон Саламон, Альфред Грей:Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica, 3. издание, исследования по высшей математике, Chapman & Hall, 2006 г., ISBN 1584884487, п. 470
  • Э. Крейсциг: Дифференциальная геометрия. Нью-Йорк: Довер, стр. 88, 1991.
  • У. Граф, М. Барнер: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Гейдельберг, 1961 г., ISBN 3-494-00488-9, стр.218
  • К. Штрубекер: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, Vandenhoek & Ruprecht, Göttingen, 1967, стр. 286