WikiDer > Число функции Грина - Википедия

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Номер функции Грина» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Январь 2014) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математике теплопроводность, то Номер функции Грина используется для однозначной категоризации определенных фундаментальные решения из уравнение теплопроводности чтобы упростить идентификацию, хранение и извлечение существующих решений.

Фон

Числа уже давно используются для обозначения типов граничных условий.^[1][2][3]Система счисления функций Грина была предложена Беком и Литкухи в 1988 г.^[4]и с тех пор пользуется все большей популярностью.^{[5][6][7][8][9][10]} Система счисления использовалась для каталогизации большого количества функций Грина и связанных решений.^[11][12][13]

Хотя здесь описано для решений уравнение теплопроводности, эта система счисления может также использоваться для любых явлений, описываемых дифференциальные уравнения Такие как распространение, акустика, электромагнетизм,динамика жидкостей, так далее.

Обозначение

Номер функции Грина определяет система координат и тип граничные условия который Функция Грина удовлетворяет. Номер функции Green состоит из двух частей: буквенного обозначения, за которым следует числовое обозначение. Буквы обозначают систему координат, а числа обозначают тип граничных условий, которые выполняются.

Таблица 1. Обозначения граничных условий для системы счисления функций Грина.

Имя	Граничное условие	Число
Нет физической границы	G ограничена	0
Дирихле	${ displaystyle G = 0}$	1
Neumann	${ displaystyle { frac { partial G} { partial n}} = 0}$	2
Робин	${ Displaystyle к { гидроразрыва { partial G} { partial n}} + hG = 0}$	3

Далее приведены некоторые обозначения для системы счисления функций Грина. Обозначения системы координат включают: X, Y и Z для декартовых координат; R, Z, ${ displaystyle phi}$ для цилиндрических координат; и, RS, ${ displaystyle phi}$, ${ displaystyle theta}$ для сферических координат. Обозначения для нескольких граничных условий приведены в таблице 1. Нулевое граничное условие важно для определения наличия координатной границы там, где не существует физической границы, например, далеко в полубесконечном теле или в центре цилиндрической или сферическое тело.

Примеры в декартовых координатах

X11

Например, число X11 обозначает функцию Грина, которая удовлетворяет уравнению теплопроводности в области (0 Дирихле) на обеих границах x = 0 и x = L. Здесь Икс обозначает декартову координату, а 11 обозначает граничное условие типа 1 с обеих сторон тела. В краевая задача для функции Грина X11 дается выражением

${ displaystyle { begin {align} { dfrac { partial ^ {2} G} { partial x ^ {2}}} + { dfrac {1} { alpha}} delta (t- tau ) delta (x-x ') = { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}}; & ; ; 0 0 G | _ {x = 0} = 0; ; ; G | _ {x = L} = 0; ; ; G | _ {t < tau} = 0. & end {выровнено}}}$

Здесь ${ displaystyle alpha}$ это температуропроводность (м²/песок ${ displaystyle delta}$ этоДельта-функция Дирака.

X20

В качестве другого декартова примера число X20 обозначает функцию Грина в полубесконечном теле (${ Displaystyle 0 <х < infty}$) с границей Неймана (тип 2) при x = 0. Здесь Икс обозначает декартову координату, 2 обозначает граничное условие типа 2 при x = 0 и 0 обозначает граничное условие нулевого типа (ограниченность) при ${ Displaystyle х = infty}$. В краевая задача для функции Грина X20 определяется выражением

${ displaystyle { begin {align} { dfrac { partial ^ {2} G} { partial x ^ {2}}} + { dfrac {1} { alpha}} delta (t- tau ) delta (x-x ') = { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}}; & ; ; 0 0 { dfrac { partial G} { partial n}} | _ {x = 0} = 0; ; ; G | _ {x rightarrow infty} { mbox {ограничено}}; ; ; G | _ {t < tau} = 0. & end {выравнивается}}}$

X10Y20

В качестве двумерного примера число X10Y20 обозначает функцию Грина в четвертьбесконечном теле (${ Displaystyle 0 <х < infty}$, ${ Displaystyle 0 <у < infty}$) с границей Дирихле (тип 1) при x = 0 и границей Неймана (тип 2) при y = 0. краевая задача для X10Y20 функция Грина определяется выражением

${ displaystyle { begin {align} { dfrac { partial ^ {2} G} { partial x ^ {2}}} + { dfrac { partial ^ {2} G} { partial y ^ { 2}}} + { dfrac {1} { alpha}} delta (t- tau) delta (x-x ') delta (y-y') = { dfrac {1} { alpha }} { dfrac { partial G} { partial t}}; & ; ; 0 0 G | _ {x = 0} = 0; ; ; { dfrac { partial G} { partial n}} | _ {y = 0} = 0; ; ; & G | _ {x rightarrow infty} { mbox {ограничен}}; ; ; G | _ {y rightarrow infty} { mbox {ограничен}}; ; ; G | _ {t < тау} = 0. & end {выровнено}}}$

Примеры в цилиндрических координатах

R03

Например, в цилиндрической системе координат число R03 обозначает функцию Грина, которая удовлетворяет уравнению теплопроводности в твердом цилиндре (0 р обозначает цилиндрическую систему координат, число 0 обозначает нулевое граничное условие (ограниченность) в центре цилиндра (r = 0), а число 3 обозначает тип 3 (Робин) граничное условие при r = a. Краевая задача для функции Грина R03 дается выражением

${ displaystyle { dfrac {1} {r}} { dfrac { partial} { partial r}} left (r { dfrac { partial G} { partial r}} right) + { dfrac {1} { alpha}} delta (t- tau) { dfrac { delta (r-r ')} {2 pi r'}} = { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}}; ; ; 0 0}$

${ Displaystyle G | _ {r = 0} { mbox {ограничен}}; ; ; k { dfrac { partial G} { partial n}} | _ {r = a} + hG | _ {r = a} = 0; ; ; G | _ {t < tau} = 0.}$

Здесь ${ displaystyle k}$ является теплопроводность (Вт / (м · К)) и ${ displaystyle h}$ этокоэффициент теплопередачи (Вт / (м² К)).

R10

В качестве другого примера число R10 обозначает функцию Грина в большом теле, содержащем цилиндрическую пустоту (a ${ displaystyle infty}$) с граничным условием типа 1 (Дирихле) при r = a. Снова письмо р обозначает цилиндрическую систему координат, число 1 обозначает границу типа 1 при r = a, а число 0 обозначает границу нулевого типа (ограниченность) при больших значениях r. Краевая задача для функции Грина R10 дается выражением

${ displaystyle { begin {align} { dfrac {1} {r}} { dfrac { partial} { partial r}} left (r { dfrac { partial G} { partial r}} right) + { dfrac {1} { alpha}} delta (t- tau) { dfrac { delta (r-r ')} {2 pi r'}} = { dfrac {1 } { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}}; & ; ; a 0 G | _ {r = a} = 0; ; ; G | _ {r rightarrow infty} { mbox {is bounded}}; ; ; G | _ {t < tau} = 0. & end {выровнено} }}$

R01${ displaystyle phi}$00

В качестве двумерного примера число R01${ displaystyle phi}$00 обозначает функцию Грина в твердом цилиндре с угловой зависимостью с граничным условием типа 1 (Дирихле) при r = a. Вот письмо ${ displaystyle phi}$ обозначает угловую координату, а числа 00 обозначим нулевые границы типа для угла; здесь никакая физическая граница не принимает форму периодического граничного условия. Краевая задача для R01${ displaystyle phi}$00 Функция Грина определяется выражением

${ displaystyle { begin {align} { dfrac {1} {r}} { dfrac { partial} { partial r}} left (r { dfrac { partial G} { partial r}} right) + { dfrac {1} {r ^ {2}}} { dfrac { partial ^ {2} G} { partial phi ^ {2}}} + { dfrac {1} { альфа}} delta (t- tau) { dfrac { delta (r-r ')} {2 pi r'}} delta ( phi - phi ') = { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}}; & ; ; 0 0 G | _ {r = 0} { mbox {ограничен,}} ; ; G | _ {r = a} = 0; & G | _ { phi = 0} = G | _ { phi = 2 pi}; { dfrac { partial G} { partial phi}} | _ { phi = 0} = { dfrac { partial G} { partial phi }} | _ { phi = 2 pi}; ; ; G | _ {t < tau} = 0. & end {align}}}$

Пример в сферических координатах

RS02

Например, в сферической системе координат число RS02 обозначает функцию Грина для твердой сферы (0 Neumann) граничное условие при r = b. Здесь буквы RS обозначим радиально-сферическую систему координат, число 0 обозначает нулевое граничное условие (ограниченность) при r = 0, а число 2 обозначает границу типа 2 при r = b. Краевая задача для функции Грина RS02 дается выражением

${ displaystyle { dfrac {1} {r ^ {2}}} { dfrac { partial} { partial r}} left (r ^ {2} { dfrac { partial G} { partial r }} right) + { dfrac {1} { alpha}} delta (t- tau) { dfrac { delta (r-r ')} {4 pi r ^ {2}}} = { dfrac {1} { alpha}} { dfrac { partial G} { partial t}}; ; ; 0 0}$

${ displaystyle G | _ {r = 0} { mbox {is bounded}}; ; ; { dfrac { partial G} { partial n}} | _ {r = b} = 0; ; ; G | _ {t < tau} = 0.}$

Смотрите также

• Фундаментальное решение
• Граничное условие Дирихле
• Граничное условие Неймана
• Граничное условие Робина
• Уравнение тепла

Рекомендации