WikiDer > Теорема Грина – Тао

Green–Tao theorem

В теория чисел, то Теорема Грина – Тао, доказано Бен Грин и Теренс Тао в 2004 г., говорится, что последовательность простые числа содержит произвольно длинный арифметические прогрессии. Другими словами, для каждого натурального числа k, существуют арифметические прогрессии простых чисел с k термины. Доказательство является продолжением Теорема Семереди. Проблема восходит к исследованиям Лагранж и Waring примерно с 1770 г.[1]

Заявление

Позволять обозначают количество простых чисел, меньших или равных . Если - подмножество простых чисел, такое что

,

тогда для всех натуральных чисел , набор содержит бесконечно много арифметических прогрессий длины . В частности, весь набор простых чисел содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

В их более поздних работах по обобщению Гипотеза Харди – Литтлвуда, Грин и Тао сформулировали и условно доказали асимптотическую формулу

для количества k наборы простых чисел в арифметической прогрессии.[2] Здесь, постоянная

.

Результат был сделан Грин – Тао безусловным. [3] и Грин – Тао – Циглер.[4]

Обзор доказательства

Доказательство Грина и Тао состоит из трех основных компонентов:

  1. Теорема Семереди, который утверждает, что подмножества целых чисел с положительной верхней плотностью имеют сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Это не априори применяются к простым числам, потому что простые числа имеют нулевую плотность в целых числах.
  2. Принцип переноса, расширяющий теорему Семереди на подмножества целых чисел, которые в подходящем смысле являются псевдослучайными. Такой результат теперь называется относительной теоремой Семереди.
  3. Псевдослучайное подмножество целых чисел, содержащее простые числа как плотное подмножество. Для создания этого набора Грин и Тао использовали идеи из работы Голдстона, Пинца и Йылдырым о основные промежутки.[5] Как только псевдослучайность множества установлена, можно применить принцип переноса, завершая доказательство.

Многочисленные упрощения аргументации в исходной статье[1] были найдены. Конлон, Фокс и Чжао (2014) представить современное изложение доказательства.

Числовая работа

Доказательство теоремы Грина – Тао не показывает, как найти прогрессии простых чисел; это просто доказывает, что они существуют. Была проведена отдельная вычислительная работа для нахождения больших арифметических прогрессий в простых числах.

В статье Green-Tao говорится: «На момент написания самой длинной известной арифметической прогрессии простых чисел была длина 23, и она была обнаружена в 2004 году Маркусом Фриндом, Полом Андервудом и Полом Джоблингом: 56211383760397 + 44546738095860 · k; k = 0, 1,. . ., 22. '.

18 января 2007 года Ярослав Врублевский обнаружил первый известный случай 24 простые числа в арифметической прогрессии:[6]

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · п, за п = От 0 до 23.

Константа 223092870 здесь является произведением простых чисел до 23 (см. первобытный).

17 мая 2008 года Врублевски и Раанан Чермони нашли первый известный случай 25 простых чисел:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · п, за п = От 0 до 24.

12 апреля 2010 г. Беноат Перишон с программным обеспечением Врублевски и Джеффа Рейнольдса в распределенном PrimeGrid проект нашел первый известный случай 26 простых чисел (последовательность A204189 в OEIS):

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · п, за п = От 0 до 25.

Расширения и обобщения

Многие из расширения теоремы Семереди справедливо и для простых чисел.

Независимо, Тао и Циглер[7] и Кук, Мадьяр и Титичетракун[8][9] вывел многомерное обобщение теоремы Грина – Тао. Доказательство Тао – Циглера также было упрощено Фоксом и Чжао.[10]

В 2006 году Тао и Циглер расширили теорему Грина – Тао на полиномиальные прогрессии.[11][12] Точнее, учитывая любые целочисленные многочлены п1,..., пk в одном неизвестном м все с постоянным членом 0, существует бесконечно много целых чисел Икс, м такой, что Икс + п1(м), ..., Икс + пk(м) одновременно просты. Частный случай, когда многочлены м, 2м, ..., км подразумевает предыдущий результат, что есть длина k арифметические прогрессии простых чисел.

Тао доказал аналог теоремы Грина – Тао для Простые числа Гаусса.[13]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Грин, Бен; Тао, Теренс (2008). «Простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии». Анналы математики. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT / 0404188. Дои:10.4007 / летопись.2008.167.481. МИСТЕР 2415379..
  2. ^ Грин, Бен; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Анналы математики. 171 (3): 1753–1850. arXiv:математика / 0606088. Дои:10.4007 / анналы.2010.171.1753. МИСТЕР 2680398.
  3. ^ Грин, Бен; Тао, Теренс (2012). «Функция Мёбиуса сильно ортогональна нильпоследовательностям». Анналы математики. 175 (2): 541–566. arXiv:0807.1736. Дои:10.4007 / анналы.2012.175.2.3. МИСТЕР 2877066.
  4. ^ Грин, Бен; Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2012). «Обратная теорема для Us + 1 [N] -нормы Гауэрса». Анналы математики. 172 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. Дои:10.4007 / анналы.2012.176.2.11. МИСТЕР 2950773.
  5. ^ Голдстон, Дэниел А .; Пинц, Янош; Йылдырым, Джем Й. (2009). «Простые числа в кортежах. I». Анналы математики. 170 (2): 819–862. arXiv:математика / 0508185. Дои:10.4007 / летопись 2009.170.819. МИСТЕР 2552109.
  6. ^ Андерсен, Йенс Крузе. «Простые числа в записях арифметической прогрессии». Получено 2015-06-27.
  7. ^ Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2015). «Многомерная теорема Семереди для простых чисел через принцип соответствия». Israel J. Math. 207 (1): 203–228. arXiv:1306.2886. Дои:10.1007 / s11856-015-1157-9. МИСТЕР 3358045.
  8. ^ Кук, Брайан; Мадьяр, Акос (2012). "Созвездия в ". Int. Математика. Res. Нет. IMRN. 2012 (12): 2794–2816. Дои:10.1093 / imrn / rnr127. МИСТЕР 2942710.
  9. ^ Кук, Брайан; Мадьяр, Акос; Титичетракун, Татчай (2015). «Многомерная теорема Семереди в простых числах». arXiv:1306.3025 [math.NT].
  10. ^ Фокс, Джейкоб; Чжао, Юфэй (2015). «Краткое доказательство многомерной теоремы Семереди в простых числах». Амер. J. Math. 137 (4): 1139–1145. arXiv:1307.4679. Дои:10.1353 / ajm.2015.0028. МИСТЕР 3372317.
  11. ^ Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2008). «Простые числа содержат сколь угодно длинные полиномиальные прогрессии». Acta Mathematica. 201 (2): 213–305. arXiv:math.NT / 0610050. Дои:10.1007 / s11511-008-0032-5. МИСТЕР 2461509.
  12. ^ Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2013). «Исправление к« Простые числа содержат сколь угодно длинные полиномиальные прогрессии »». Acta Mathematica. 210 (2): 403–404. Дои:10.1007 / s11511-013-0097-7. МИСТЕР 3070570.
  13. ^ Тао, Теренс (2006). «Гауссовские простые числа содержат созвездия произвольной формы». J. Anal. Математика. 99 (1): 109–176. arXiv:математика / 0501314. Дои:10.1007 / BF02789444. МИСТЕР 2279549.

дальнейшее чтение