WikiDer > Неравенство Харди – Литтлвуда

В математический анализ, то Неравенство Харди – Литтлвуда, названный в честь Г. Х. Харди и Джон Эденсор Литтлвуд, утверждает, что если ж и грамм неотрицательны измеримый реальные функции исчезает в бесконечность которые определены на п-размерный Евклидово пространство р^п тогда

${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} f (x) g (x) , dx leq int _ { mathbb {R} ^ {n}} f ^ {*} ( х) g ^ {*} (х) , dx}$

куда ж^* и грамм^* являются симметричные убывающие перестановки из ж(Икс) и грамм(Икс), соответственно.^[1][2]

Доказательство

Из представление слоеного пирога у нас есть:^[1][2]

${ displaystyle f (x) = int _ {0} ^ { infty} chi _ {f (x)> r} , dr}$

${ displaystyle g (x) = int _ {0} ^ { infty} chi _ {g (x)> s} , ds}$

куда ${ Displaystyle чи _ {е (х)> г}}$ обозначает индикаторная функция подмножества E _ж данный

${ Displaystyle E_ {F} = влево {х в X: е (х)> г вправо }}$

Аналогично, ${ Displaystyle чи _ {г (х)> s}}$ обозначает индикаторную функцию подмножества E _грамм данный

${ displaystyle E_ {g} = left {x in X: g (x)> s right }}$

${ Displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} е (х) г (х) , dx = displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ {0 } ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} chi _ {f (x)> r} chi _ {g (x)> s} , dr , ds , dx}$

${ displaystyle = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} int _ { mathbb {R} ^ {n}} chi _ {f (x)> r cap g (x)> s} , dx , dr , ds}$

${ displaystyle = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} mu left ( left {f (x)> r right } cap left {g (x)> s right } right) , dr , ds}$

${ Displaystyle Leq int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} min left ( mu left (f (x)> r right); mu left (g (x)> s right) right) , dr , ds}$

${ displaystyle = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} min left ( mu left (f ^ {*} (x)> r right); mu left (g ^ {*} (x)> s right) right) , dr , ds}$

${ displaystyle = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} mu left ( left {f ^ { ast} (x)> r right } cap left {g ^ { ast} (x)> s right } right) , dr , ds}$

${ displaystyle = int _ { mathbb {R} ^ {n}} f ^ {*} (x) g ^ {*} (x) , dx}$

Смотрите также

• Неравенство перестановки
• Неравенство сумм Чебышева
• Пространство Лоренца

Рекомендации