WikiDer > Ряд Гильберта – Пуанкаре

Hilbert–Poincaré series

В математика, и в частности в области алгебра, а Ряд Гильберта – Пуанкаре (также известен под названием Ряд Гильберта), названный в честь Дэвид Гильберт и Анри Пуанкаре, представляет собой адаптацию понятия измерение в контексте оцененный алгебраические структуры (где размер всей конструкции часто бесконечен). Это формальный степенной ряд в одном неопределенном, скажем, , где коэффициент дает размерность (или ранг) подструктуры элементов, однородных степени . Это тесно связано с Полином Гильберта в случаях, когда последний существует; однако ряд Гильберта – Пуанкаре описывает ранг в каждой степени, в то время как полином Гильберта описывает его только во всех, кроме конечного числа степеней, и поэтому предоставляет меньше информации. В частности, ряд Гильберта – Пуанкаре не может быть выведен из полинома Гильберта, даже если последний существует. В хороших случаях ряд Гильберта – Пуанкаре может быть выражен как рациональная функция своего аргумента .

Определение

Позволять K быть полем, и пусть быть -градуированное векторное пространство над K, где каждое подпространство векторов степени я конечномерна. Тогда ряд Гильберта – Пуанкаре V это формальный степенной ряд

[1]

Аналогичное определение можно дать для -квалифицированный р-модуль над любым коммутативное кольцо р в котором каждый подмодуль элементов, однородных фиксированной степени п является свободный конечного ранга; достаточно заменить размерность рангом. Часто градуированное векторное пространство или модуль, в котором рассматривается ряд Гильберта – Пуанкаре, имеет дополнительную структуру, например структуру кольца, но ряд Гильберта – Пуанкаре не зависит от мультипликативной или другой структуры.

Пример: поскольку есть мономы степени k в переменных (например, по индукции), можно вывести, что сумма ряда Гильберта – Пуанкаре это рациональная функция .[2]

Теорема Гильберта – Серра

Предположим M является конечно порожденным градуированным модулем над с Артинианское кольцо (например, поле) А. Тогда ряд Пуанкаре M - многочлен с целыми коэффициентами, деленными на .[3] Стандартное доказательство сегодня - это индукция по п. Первоначальное доказательство Гильберта использовало Теорема Гильберта о сизигияхпроективное разрешение из M), что дает больше гомологической информации.

Вот доказательство индукцией по числу п неопределенных. Если , то, поскольку M имеет конечную длину, если k достаточно большой. Далее, предположим, что теорема верна для и рассмотрим точную последовательность градуированные модули (точная степень), с обозначением ,

.

Поскольку длина аддитивна, ряды Пуанкаре также аддитивны. Следовательно, мы имеем:

.

Мы можем написать . поскольку K убит , мы можем рассматривать его как градуированный модуль над ; то же самое верно для C. Таким образом, теорема следует из индуктивного предположения.

Цепной комплекс

Пример градуированного векторного пространства связан с цепной комплекс, или комплекс коцепей C векторных пространств; последний принимает форму

Ряд Гильберта – Пуанкаре (здесь часто называемый полиномом Пуанкаре) градуированного векторного пространства для этого комплекса

Многочлен Гильберта – Пуанкаре от когомология, с пространствами когомологий ЧАСj = ЧАСj(C), является

Известная связь между ними состоит в том, что существует многочлен с неотрицательными коэффициентами, такими, что

использованная литература

  1. ^ Атья и Макдональд 1969, Гл. 11.
  2. ^ Атья и Макдональд 1969, Гл. 11, пример сразу после предложения 11.3.
  3. ^ Атья и Макдональд 1969, Гл. 11, теорема 11.1.
  • Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969). Введение в коммутативную алгебру. Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.