WikiDer > История диссертации Черча – Тьюринга

History of the Church–Turing thesis

В история Тезис Черча – Тьюринга («тезис») включает история о развитии изучения природы функций, значения которых можно эффективно вычислить; или, говоря более современным языком, функции, значения которых алгоритмически вычислимы. Это важная тема в современной математической теории и информатике, особенно связанная с работой Церковь Алонсо и Алан Тьюринг.

Споры и открытие значения слов «вычисление» и «рекурсия» были долгими и спорными. В этой статье подробно рассказывается об этих дебатах и ​​открытиях Аксиомы Пеано в 1889 году в ходе недавнего обсуждения значения "аксиома".

Девять аксиом арифметики Пеано

В 1889 г. Джузеппе Пеано представил свой Принципы арифметики, представленные новой методикой, основанный на работе Дедекинд. Соаре предполагает, что возникновение «примитивной рекурсии» формально началось с аксиом Пеано, хотя

«Задолго до того, как математики девятнадцатого века использовали принцип определения функции по индукции. Дедекинд 1888 доказал, используя принятые аксиомы, что такое определение определяет уникальную функцию, и применил его к определению функций m + n, mxn, И мп. Основываясь на этой работе Дедекинда, Пеано 1889 и 1891 написал знакомые пять [sic] аксиом для положительных целых чисел. В дополнение к своей пятой [sic] аксиоме, математической индукции, Пеано использовал определение по индукции, которое было названо примитивный рекурсия (поскольку Питер 1934 и Клини 1936) ... ".[1]

Заметьте, что по факту Аксиомы Пеано находятся 9 в числе и аксиоме 9 - аксиома рекурсии / индукции.[2]

«Впоследствии 9 были сокращены до 5, поскольку« Аксиомы 2, 3, 4 и 5, которые имеют дело с идентичностью, принадлежат основной логике. Это оставляет пять аксиом, которые стали общеизвестными как «аксиомы Пеано ... Пеано признает (1891b, стр. 93), что его аксиомы исходят от Дедекинда ...».[3]

Гильберт и Entscheidungsproblem

На Международный конгресс математиков (ICM) в 1900 году в Париже знаменитый математик Дэвид Гильберт поставил ряд проблем - теперь известных как Проблемы Гильберта - его маяк, освещающий путь математикам двадцатого века. 2-я и 10-я проблемы Гильберта представили Entscheidungsproblem («проблема решения»). В своей второй задаче он попросил доказательства того, что «арифметика» естьпоследовательный". Курт Гёдель докажет в 1931 году, что внутри того, что он называл "П" (ныне Арифметика Пеано), «существуют неразрешимые предложения [предложения]».[4] Из-за этого «непротиворечивость P недоказуема в P при условии, что P непротиворечиво».[5] Хотя доказательство Гёделя покажет инструменты, необходимые для Церковь Алонсо и Алан Тьюринг чтобы решить проблему Entscheidungs, он сам на нее не ответил.

Это в пределах Гильберта 10-я проблема где на самом деле возникает вопрос "Entscheidungsproblem". Суть дела заключалась в следующем: «Что мы имеем в виду, когда говорим, что функция« эффективно вычислима »?» Ответ будет примерно таким: «Когда функция вычисляется механический процедура (процесс, метод) ». Хотя в настоящее время этот вопрос (и ответ) легко формулируется, этот вопрос (и ответ) будет витать в воздухе почти 30 лет, прежде чем он будет точно сформулирован.

Первоначальное описание проблемы 10 Гильбертом начинается следующим образом:

"10. Определение разрешимости Диофантово уравнение. Дано диофантово уравнение с любым количеством неизвестных величин и с рациональный интеграл коэффициенты: Разработать процесс, согласно которому с помощью конечного числа операций можно определить, разрешимо ли уравнение в целых рациональных числах.[6]"

К 1922 году конкретный вопрос «Entscheidungsproblem», примененный к диофантовым уравнениям, превратился в более общий вопрос о «методе решения» для Любые математическая формула. Мартин Дэвис объясняет это следующим образом: Предположим, нам дана «вычислительная процедура», которая состоит из (1) набора аксиом и (2) логического заключения, записанного в логика первого порядка, то есть - написано тем, что Дэвис называет "Фреге правила дедукции "(или современный эквивалент Логическая логика). Докторская диссертация Гёделя[7] доказал, что правила Фреге были полный «... в том смысле, что каждая действительная формула доказуема».[8] Учитывая этот обнадеживающий факт, может ли существовать обобщенная «процедура расчета», которая сообщила бы нам, можно ли сделать вывод из ее предпосылок? Дэвис называет такие вычислительные процедуры "алгоритмы". Проблема Entscheidungsproblem тоже была бы алгоритмом." В принципе, алгоритм для [] Entscheidungsproblem мог бы свести все человеческие дедуктивные рассуждения к грубым вычислениям ".[9]

Другими словами: есть ли «алгоритм», который может сказать нам, Любые формула "истинна" (т.е. алгоритм, который всегда правильно дает суждение "истина" или "ложь"?)

«... Гильберту казалось ясным, что с решением этой проблемы, Entscheidungsproblem, должно быть возможно в принципе разрешить все математические вопросы чисто механическим способом. Следовательно, учитывая неразрешимые проблемы, если Гильберт был прав , тогда сама проблема Entscheidungs ​​должна быть неразрешимой ".[10]

В самом деле: а как насчет самого алгоритма Entscheidungsproblem? Может ли он за конечное число шагов определить, является ли он сам «успешным» или «правдивым» (то есть не зацикливается на бесконечном «круге» или «петля", и он правильно дает суждение" правда "или" ложь "о своем собственном поведении и результатах)?

Три задачи из 2-й и 10-й проблем Гильберта

В 1928 г. Конгресс [в Болонья, Италия] Гильберта очень тщательно уточняет вопрос на три части. Следующее Стивена Хокинга резюме:

  • "1. Чтобы доказать, что все истинные математические утверждения могут быть доказаны, то есть полнота математики.
  • "2. Доказать, что могут быть доказаны только истинные математические утверждения, т. Е. последовательность математики,
  • "3. Доказать разрешимость математики, т. Е. Существование процедура принятия решения определять истинность или ложность любого математического предложения ». [11]

Простые арифметические функции, не сводимые к примитивной рекурсии

Габриэль Судан (1927) и Вильгельм Аккерманн (1928) дисплей рекурсивные функции это не примитивный рекурсивный:

"Здесь рекурсии которые не сводятся к примитивная рекурсия; и, в частности, можно ли использовать рекурсию для определения функции, которая не является примитивно рекурсивной?
"Этот вопрос возник из предположения Гильберта в 1926 г. на проблема континуума, и получил ответ [да: есть рекурсии, которые не являются примитивно рекурсивными] Аккерманом 1928. "[12]

В последующие годы Клини[13] отмечает, что Рожа Петер (1935) упростил пример Аккермана (см. Также Hilbert-Бернейс 1934 г. ") и Рафаэль Робинсон (1948). Петер показал другой пример (1935 г.), в котором использовались Диагональный аргумент Кантора. Петер (1950) и Аккерман (1940) также продемонстрировали "трансфинитные рекурсии", и это заставило Клини задуматься:

«... можем ли мы точно охарактеризовать понятие любой« рекурсии »или класс всех« рекурсивных функций ».[14]

Клини заключает[15] что все "рекурсии" включают (i) формальный анализ, который он представляет в своем § 54 Формальные расчеты примитивные рекурсивные функции и, (ii) использование математическая индукция. Он сразу же заявляет, что действительно определение Гёделя-Хербрана действительно «характеризует все рекурсивные функции» - см. Цитату в 1934, ниже.

Доказательство Гёделя

В 1930 году математики собрались на встречу по математике и пенсионное мероприятие для Гильберта. Как повезет,

"на той же встрече молодой чешский математик, Курт Гёдель, объявил результаты, которые нанесли ему [мнение Гильберта, что все три ответа были ДА] серьезным ударом ».[16]

Он объявил, что ответом на первые два из трех вопросов Гильберта 1928 года было НЕТ.

Впоследствии в 1931 году Гёдель опубликовал свою знаменитую статью. О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и связанных с ними Системы I. В своем предисловии к этой статье Мартин Дэвис предостерегает:

"Читателя следует предупредить, что [в этой статье] то, что Гёдель называет рекурсивные функции теперь называются примитивные рекурсивные функции. (Пересмотренная терминология была введена Клини[17])."[18]

Гёделевское разложение «эффективного расчета»

Цитировать Клини (1952), «Характеристика всех« рекурсивных функций »была достигнута в определении« общей рекурсивной функции » Гёдель 1934 г., построенный по предложению Herbrand"(Kleene 1952: 274). Гёдель прочитал серию лекций в Институте перспективных исследований (IAS), Принстон, штат Нью-Джерси. В предисловии, написанном Мартин Дэвис[19] Дэвис отмечает, что

«Доктор Гёдель заявил в письме, что во время этих лекций он совсем не был убежден, что его концепция рекурсии включает в себя все возможные рекурсии ...»[20]

Доусон утверждает, что эти лекции были призваны прояснить опасения, что «теоремы о неполноте так или иначе зависели от особенностей формализации»:[21]

"Гёдель упомянул Аккермана пример из заключительного раздела его статьи 1934 года, как способ мотивировать понятие «общерекурсивной функции», которое он там определил; но ранее, в сноске 3, он уже предположил (в качестве «эвристического принципа»), что все конечно вычислимые функции могут быть получены с помощью рекурсий более общего вида.
«Гипотеза с тех пор вызвала много комментариев. В частности, когда Мартин Дэвис взялся опубликовать лекции Гёделя 1934 года [в Davis 1965: 41ff], он счел ее вариантом Тезис Черча; но в письме к Дэвису ...[22] Гедель категорически заявил, что это «неправда», потому что во время этих лекций он «совсем не был убежден», что его концепция рекурсии включает «все возможные рекурсии». Скорее, он сказал: «Гипотеза, сформулированная там, относится только к эквивалентности« конечной (вычислительной) процедуры »и« рекурсивной процедуры »». Чтобы прояснить проблему, Гёдель добавил к лекциям постскриптум:[23] в котором он указал, что окончательно убедило его в том, что интуитивно вычислимые функции совпадают с общерекурсивными, было Алана Тьюринга Работа (Тьюринг 1937).
«Нежелание Гёделя рассматривать либо общую рекурсивность, либо λ-определимость как адекватную характеристику неформального понятия эффективной вычислимости было подробно исследовано несколькими авторами [сноска 248:» См. Особенно Davis 1982; Ганди 1980 и 1988; Sieg 1994 »]. Существует консенсус, что на самом деле ни Гёделя, ни Церкви формализмы были такими наглядными или внутренне убедительными, как анализ Алана Тьюринга, и Вилфрид Зиг утверждал, что свидетельство в пользу тезиса Чёрча обеспечивается «слиянием различных понятий» (тот факт, что системы, предложенные Чёрчем, Гёделем, Сообщение и Алан Тьюринг, как выяснилось, имеют одно и то же расширение) менее убедителен, чем обычно предполагалось. Следовательно, помимо врожденной осторожности Гёделя, были веские причины для его скептицизма. Но что же тогда был он пытается достичь через свое понятие общей рекурсивности? ...
«Скорее, Гёдель получил свое определение [класса общерекурсивных функций] через модификацию идей Хербрана ...; и Вильфрид Зиг утверждал, что его истинная цель в заключительном разделе статьи 1934 года [примечания к лекции] была»чтобы отделить рекурсивные функции от [Herbrand's] эпистемологически ограниченное понятие доказательства"указав"механический правила вывода уравнений ». Общее Зиг предполагает, что Гёделевское понятие "общей" рекурсивности предполагало, что Хербранд намеревался охарактеризовать только те функции, которые могут быть доказано быть рекурсивным финишный означает [250] ".[24]

Клини

Клини и Россер записано Гёделя 1934 г. читает лекции в Принстоне. В своей статье Общие рекурсивные функции натуральных чисел[25] Клини утверждает:

"Определение общерекурсивной функции натуральных чисел было предложено Herbrand Гёделю, и был использован Гёделем с важной модификацией в серии лекций в Принстоне в 1934 году ...[26]
«Рекурсивная функция (отношение) в смысле Гёделя ... теперь будет называться примитивная рекурсивная функция (связь).[27]

Церковное определение «эффективно вычислимого»

Церкви бумага Неразрешимая проблема элементарной теории чисел (1936) доказал, что Entscheidungsproblem было неразрешимо в рамках λ-исчисления и общей рекурсии Гёделя-Хербранда; кроме того, Черч приводит две теоремы Клини это доказало, что функции, определенные в λ-исчислении, идентичны функциям, определенным общей рекурсией:

«Теорема XVI. Всякая рекурсивная функция натуральных чисел λ-определима.16
«Теорема XVII. Всякая λ-определимая функция натуральных чисел рекурсивна.17
"16 .... В таком виде он был впервые получен Клини ...
"17 Этот результат был получен независимо автором данной статьи и С. К. Клини примерно в одно и то же время.

Документ открывается очень длинной сноской 3. Другая сноска 9 также представляет интерес. Мартин Дэвис заявляет, что «Эта статья принципиально важна своим явным изложением (поскольку она известна как Тезис Чёрча), что функции, которые могут быть вычислены с помощью конечного алгоритма, являются в точности рекурсивными функциями, и, как следствие, может быть задана явная неразрешимая проблема ":[28]

"3 Как будет показано, это определение эффективной вычислимости может быть сформулировано в любой из двух эквивалентных форм: (1) ... λ-определимость ... 2) ... рекурсивная .... Понятие λ-определимости создано совместно автором данной статьи и С. К. Клини, последовательные шаги в этом направлении были предприняты автором в Анналы математики, т. 34 (1933), стр. 863 и Клини в Американский журнал математики, т. 57 (1935), стр. 219. Понятие рекурсивности в смысле § 4 ниже в совокупности связано с Жак Эрбранд и Курт Гёдель, как там объясняется. И доказательство эквивалентности этих двух понятий принадлежит в основном Клини, но также частично автору и Дж. Б. Россеру ... Предложение отождествить эти понятия с интуитивным понятием эффективной вычислимости впервые сделано в настоящей статье (но см. Первую сноску к § 7 ниже).
"С помощью методов Клини (Американский журнал математики, 1935), рассуждения в настоящей статье со сравнительно небольшими модификациями можно было бы полностью провести в терминах λ-определимости, без использования понятия рекурсивности. С другой стороны, поскольку результаты настоящей статьи были получены, Клини показал (см. Его предстоящую статью «Общие рекурсивные функции натуральных чисел»), что аналогичные результаты могут быть получены полностью в терминах рекурсивности, не делая использование λ-определимости. Однако тот факт, что два столь разных и (по мнению автора) одинаково естественных определения эффективной вычислимости оказываются эквивалентными, усиливает приводимые ниже основания полагать, что они составляют общую характеристику этого понятие как согласуется с обычным интуитивным пониманием этого ".[29]

Сноска 9 в разделе §4 Рекурсивные функции:

" 9Это определение [«рекурсивного»] тесно связано с определением рекурсивных функций, которое было предложено Куртом Гёделем в лекциях в Принстоне, штат Нью-Джерси, 1934 г., и было предложено им в связи с неопубликованным предложением Жак Эрбран. Основные черты, в которых настоящее определение рекурсивности отличается от определения Гёделя, принадлежат С. К. Клини.
«В готовящейся к печати статье Клини, озаглавленной« Общие рекурсивные функции натуральных чисел »... следует ... что каждая функция, рекурсивная в настоящем смысле, также рекурсивна в смысле Гёделя (1934 г.) и наоборот».[30]

За некоторое время до публикации Черча Неразрешимая проблема элементарной теории чисел (1936) между Геделем и Черчем произошел диалог о том, достаточно ли λ-определимости для определения понятий «алгоритм» и «эффективная вычислимость».

В Чёрче (1936) мы видим в главе §7 Понятие эффективной вычислимости, сноска 18, в которой говорится следующее:

"18Вопрос о соотношении между эффективной вычислимостью и рекурсивностью (на который здесь предлагается ответить, идентифицируя два понятия) был поднят Геделем в беседе с автором. Соответствующий вопрос о связи между эффективной вычислимостью и λ-определимостью ранее был предложен автором независимо ". [31]

Под «отождествлением» Церковь подразумевает - не «установление идентичности», а скорее «сделать так, чтобы стать или стать идентичным», «задумать как объединенное» (как по духу, мировоззрению или принципу) (vt форма) и (vi форма) как «быть или стать таким же».[32]

Пост и «эффективная исчисляемость» как «естественный закон»

Пост сомнения относительно того, является ли рекурсия адекватным определением «эффективной вычислимости», плюс публикация Церкви осенью 1936 г. он побудил его предложить «формулировку» с «психологической точностью»: рабочий движется через «последовательность пространств или ящиков»[33] выполнение машинных «примитивных действий» на листе бумаги в каждой коробке. Рабочий имеет «фиксированный изменяемый набор направлений».[33] Каждая инструкция состоит из трех или четырех символов: (1) идентификационная метка / номер, (2) операция, (3) следующая инструкция jя; однако, если инструкция имеет тип (e) и определено «да», ТО инструкция jя'ИНАЧЕ, если это инструкция "нет" jя. "Примитивные действия"[33] бывают только 1 из 5 типов: (а) отметьте бумагу в коробке, в которой он находится (или отметьте отметку уже там), (b) сотрите отметку (или удалите поверх), (c) переместите одну комнату в вправо, (г) переместите одну комнату влево, (д) ​​определите, помечена ли бумага или нет. Рабочий начинает с шага 1 в стартовой комнате и выполняет то, что ему говорят инструкции. (Подробнее см. Машина Пост-Тьюринга.)

Этот вопрос, упомянутый во введении к «интуитивным теориям», заставил Поста яростно тыкнуть в Черча:

«Автор ожидает, что настоящая формулировка окажется логически эквивалентной рекурсивности в смысле развития Гёделя-Черча.7 Его цель, однако, состоит не только в том, чтобы представить систему определенной логической мощности, но и в ее ограниченной области психологической верности. В последнем смысле рассматриваются более широкие и широкие формулировки. С другой стороны, наша цель - показать, что все это логически сводится к формулировке 1. Мы предлагаем этот вывод в настоящий момент как рабочая гипотеза. На наш взгляд, таково отождествление Черча эффективной вычислимости с рекурсивностью.8"(курсив в оригинале)
7 [он описывает подход к доказательству]
8 "Cf. Church, lock. Cit, pp. 346, 356-358. На самом деле работа, уже проделанная Чёрчем и другими, значительно выходит за рамки стадии рабочей гипотезы. Но чтобы скрыть эту идентификацию под определением, скрывается факт. что фундаментальное открытие в ограничении математических возможностей Homo Sapiens было сделано и слепит нас к необходимости его постоянной проверки."[34]

Другими словами, Post говорит: "Просто потому, что вы определены это не так сделать это действительно так; ваше определение основано не более чем на интуиции ". Пост искал нечто большее, чем определение:" Успех вышеупомянутой программы для нас изменил бы эту гипотезу не столько на определение или аксиому, сколько на естественный закон. Только так, как кажется писателю, можно Гёделя теорема ... и результаты Черча ... быть преобразованы в выводы, касающиеся всех символических логик и всех методов разрешимости ".[35]

Эта спорная позиция находит сварливое выражение в Алан Тьюринг 1939, и он снова появится с Гёделем, Ганди, и Зиг.

Тьюринг и вычислимость

А. М. Тьюринга бумага О вычислимых числах в приложении к Entscheidungsproblem был доставлен в Лондонское математическое общество в ноябре 1936 года. Читатель снова должен помнить об осторожности: слово «компьютер», используемое Тьюрингом, означает человек, а действие «компьютера» он называет «вычислением»; например, он утверждает: «Обычно вычисления выполняются путем написания определенных символов на бумаге» (стр. 135). Но он использует слово «вычисление»[36] в контексте его машинного определения, и его определение «вычислимых» чисел выглядит следующим образом:

«Вычислимые» числа можно кратко описать как действительные числа, чьи десятичные выражения можно вычислить конечными средствами ... Согласно моему определению, число вычислимо, если его десятичное число может быть записано машиной ». [37]

Как Тьюринг определяет свою «машину»? Тьюринг дает два определения, первое - краткое изложение в §1 Вычислительные машины и другой, очень похожий в §9, я получил из его более детального анализа действий человеческого «компьютера». В отношении своего определения §1 он говорит, что «оправдание заключается в том, что человеческая память обязательно ограничена»,[38] и он завершает § 1 неприкрытым утверждением предложенной им машины с использованием слова «все».

"Я считаю, что эти операции [запись символа на ленте - квадрата, символа стирания, сдвига один квадрат влево, сдвиг один квадрат вправо, просканируйте квадрат для символа и измените конфигурацию машины в результате один отсканированный символ] включают все те, которые используются при вычислении числа ".[36]

Слово «один» в квадратных скобках выделено намеренно. Что касается §9.I он позволяет машине исследовать Больше квадраты; он утверждает, что именно этот более квадратный тип поведения типизирует действия компьютера (человека):

«Машина сканирует B квадратов, соответствующих B квадратам, наблюдаемым компьютером. При любом движении машина может изменить символ на сканируемом квадрате или может заменить любой из сканируемых квадратов на другой квадрат, удаленный не более чем на L квадратов от одного из другие отсканированные квадраты ... Только что описанные машины не очень существенно отличаются от вычислительных машин, как определено в § 2 [sic], и соответствующая любой машине этого типа может быть построена вычислительная машина для вычисления той же последовательности, то есть сказать последовательность, вычисленную компьютером ".[39]

Тьюринг далее определяет «вычислительную машину» в § 2 как (i) «a-машина» («автомат»), как определено в § 1, с добавленным ограничением (ii): (ii) она печатает два вида символов. - цифры 0 и 1 - и другие символы. Цифры 0 и 1 представляют «последовательность, вычисленную машиной».[36]

Кроме того, чтобы определить, если количество чтобы считаться «вычислимым», машина должна печатать бесконечное количество нулей и единиц; в противном случае он считается «круглым»; в противном случае считается "без круга":

«Число вычислимо, если оно отличается на целое число от числа, вычисляемого машиной без окружностей». [40]

Хотя он не называет это своим «тезисом», Тьюринг предлагает доказательство того, что его «вычислимость» эквивалентна Церкви «эффективная вычислимость»:

«В недавней статье Алонзо Чёрч представил идею« эффективной вычислимости », которая эквивалентна моей« вычислимости », но определяется совсем по-другому ... Доказательство эквивалентности между« вычислимостью »и« эффективной вычислимостью »изложено в Приложение к настоящей статье ".[38]

В Приложение: вычислимость и эффективная вычислимость начинается следующим образом; заметьте, что он делает не упомянуть рекурсия здесь, и фактически в его скетче доказательства его машина пережевывает строки символов в λ-исчислении и исчисление пережевывает «полные конфигурации» его машины, и нигде не упоминается рекурсия. Доказательство эквивалентности машинной вычислимости и рекурсии должно ждать Клини 1943 и 1952 годы:

«Теорема о том, что все эффективно вычислимые (λ-определимые) последовательности вычислимы, и ее обратное доказывается ниже в общих чертах».[41]

Ганди (1960), кажется, путает этот смелый набросок доказательства с Тезис Черча; см. 1960 и 1995 ниже. Более того, внимательное прочтение определений Тьюринга приводит читателя к выводу, что Тьюринг утверждал, что «операции» предложенной им машины в § 1 являются достаточно вычислить Любые вычислимое число, и машина, имитирующая действие человеческого «компьютера», представленная в §9.I, является разновидностью этой предложенной машины. Этот момент будет повторен Тьюрингом в 1939 году.

Тьюринг определяет эффективную вычислимость с помощью машинных вычислений

Алана Тьюринга массивная докторская диссертация в Принстоне (в рамках Церковь Алонсо) отображается как Системы логики на основе порядковых чисел. В нем он резюмирует поиски определения «эффективно вычислимого». Он предлагает определение как показано жирным шрифтом, который конкретно идентифицирует (идентифицирует) понятия «машинное вычисление» и «эффективно вычисляемый».

«Функция называется« эффективно вычисляемой », если ее значения могут быть найдены с помощью какого-либо чисто механического процесса.Хотя интуитивно понять эту идею довольно легко, тем не менее желательно иметь какое-то более определенное, математически выразимое определение. Такое определение впервые было дано Гёдель в Принстоне в 1934 году ... Эти функции описаны Гёделем как «общерекурсивные» ... Другое определение эффективной вычислимости было дано Черчем ... который отождествляет его с λ-определимостью. Автор недавно предложил определение, более близкое к интуитивной идее (Тьюринг [1], см. Также Пост [1]). Выше было сказано, что «функция является эффективно вычислимой, если ее значения могут быть найдены с помощью некоторого чисто механического процесса». Мы можем принять это утверждение буквально, понимая под чисто механическим процессом процесс, который может быть выполнен машиной.. Можно дать математическое описание в определенной нормальной форме структур этих машин. Развитие этих идей приводит к авторское определение вычислимой функции, и чтобы отождествление вычислимости † с эффективной вычислимостью. Нетрудно, хотя и несколько утомительно, доказать, что эти три определения эквивалентны.[42]
«† Мы будем использовать выражение« вычислимая функция »для обозначения функции, вычисляемой машиной, и мы позволим« эффективно вычислить »относиться к интуитивной идее без особой идентификации с каким-либо из этих определений. Мы не ограничиваем значения, принимаемые вычислимая функция должна быть натуральными числами; например, мы можем иметь вычислимые пропозициональные функции."[43]

Это мощное выражение. поскольку «тождество» на самом деле является недвусмысленным заявлением о необходимых и достаточных условиях, другими словами, нет никаких других случайностей для идентификации », кроме той интерпретации, которая дается словам« функция »,« машина »,« вычислимый »и« эффективно » вычислимо ":

Для всех функций: ЕСЛИ "эта функция вычисляется машиной" ТО "эта функция эффективно вычисляется" И ЕСЛИ "эта функция эффективно вычисляется" ТОГДА, эта функция вычисляется машиной ".

Россер: рекурсия, λ-исчисление и тождество вычисления машины Тьюринга

Статья Дж. Б. Россера Неформальное изложение доказательств теорем Гёделя и Чёрча[44] заявляет следующее:

«Эффективный метод» здесь используется в довольно особом смысле метода, каждый шаг которого точно предопределен и который, несомненно, приведет к ответу за конечное число шагов. В этом особом значении даны три различных точных определения назначить свидание5. Самый простой из них указать (из-за Сообщение и Тьюринг) по сути говорит, что существует эффективный метод решения определенного набора проблем, если можно построить машину, которая затем решит любую проблему из набора без вмешательства человека, кроме вставки вопроса и (позже) чтения ответа. Все три определения эквивалентны, поэтому не имеет значения, какое из них используется. Более того, тот факт, что все три эквивалентны, является очень сильным аргументом в пользу правильности любого из них.
5 Одно определение дается Церковь в I [т.е. Церковь 1936 г. Неразрешимая проблема теории элементарных чисел]. Другое определение связано с Жак Эрбранд и Курт Гёдель. Об этом говорится в I, сноске 3, с. 346. Третье определение было дано независимо в двух немного разных формах Э. Л. Постом ... и А. М. Тьюрингом .... Первые два определения эквивалентны в I. Третье эквивалентно первым двум определениям А. М. Тьюринг, Вычислимость и λ-определимость [Журнал символической логики, т. 2 (1937), стр. 153-163] ". [45]

Клини и Тезис I

Клини определяет «общерекурсивные» функции и «частично рекурсивные функции» в своей статье Рекурсивные предикаты и квантификаторы. Появляются представляющая функция, мю-оператор и т. Д. Он продолжает в §12. Теории алгоритмов изложить свой знаменитый тезис I, что он назовет Тезис Черча в 1952 г .:

"Этот эвристический факт, а также некоторые размышления о природе символических алгоритмических процессов привели к Церковь сформулировать следующий тезис22. Тот же тезис неявно содержится в Тьюринга описание вычислительных машин23.
"Тезис I. Каждая эффективно вычислимая функция (эффективно разрешимый предикат) общерекурсивна.
"Поскольку точного математического определения термина эффективно вычислимый (эффективно разрешимый) не хватало, мы можем принять этот тезис вместе с уже принятым принципом, которому он обратен, как его определение ... тезис имеет характер гипотезы - момент, подчеркнутый Сообщение и церковью24.
22 Церковь [1] [Неразрешимая проблема элементарной теории чисел][46]
23 Тьюринг [1] [О вычислимых числах в приложении к проблеме Entscheidungs(1936)][47]
24 Сообщение [1, с. 105],[48] и церковь [2] [49]

Клини, тезисы Чёрча и Тьюринга

В своей главе §60, Клини определяет "Тезис Чёрча" следующим образом:

"... эвристические данные и другие соображения привели Церковь 1936 г. выдвинуть следующую диссертацию.
Тезис I. Каждая эффективно вычислимая функция (эффективно разрешимый предикат) общерекурсивна.
"Этот тезис также подразумевается в концепции вычислительной машины, сформулированной Тьюринг 1936-7 и Пост 1936. "[50]

На странице 317 он явно называет вышеприведенный тезис «тезисом Чёрча»:

"§62. Тезис Черча.. Одна из основных целей этой и следующей главы - представить доказательства тезиса Черча (тезис I §60) ». [51]

О «формулировке» Тьюринга Клини говорит:

«Формулировка Тьюринга, таким образом, представляет собой независимое утверждение тезиса Черча (в эквивалентных терминах). Сообщение 1936 г. дал аналогичную формулировку ".[52]

Клини предполагает, что то, что показал Тьюринг: «Вычислимые функции Тьюринга (1936-1937) - это те функции, которые могут быть вычислены с помощью машины, которая, согласно его анализу, предназначена для воспроизведения всех видов операций, которые может выполнять человеческий компьютер. , работая в соответствии с заранее заданными инструкциями ". [53]

Эта интерпретация Тьюринга играет на Ганди озабоченность тем, что машинная спецификация не может явно «воспроизводить все виды операций, которые может выполнять человеческий компьютер», то есть два его примера: (i) массово-символьно-параллельное вычисление и двумерное вычисление, например "Игра жизни" Конвея.[54] Следовательно, могут быть процессы, которые могут «вычислять больше», чем Машина Тьюринга мочь. См. 1980 ниже.

Клини определяет тезис Тьюринга следующим образом:

"§70. Тезис Тьюринга.. Тезис Тьюринга о том, что каждая функция, которая естественно считалась бы вычислимой по его определению, то есть с помощью одной из его машин, эквивалентна тезису Черча по теореме XXX ".

Действительно, непосредственно перед этим утверждением Клини формулирует теорему XXX:

"Теорема XXX (= теоремы XXVIII + XXIX). Следующие классы частичных функций являются коэкстенсивными, то есть имеют одинаковые члены: (а) частично рекурсивные функции, (б) вычислимые функции, (в) вычислимые функции 1/1 . Аналогично с l [нижний регистр L] полностью определены предполагаемые функции Ψ. "

Машины Гёделя, Тьюринга и эффективная вычислимость

К его статье 1931 года О формально неразрешимых предложениях, Гёдель добавил Записка добавлена ​​28 августа 1963 г. который проясняет его мнение об альтернативных формах / выражении "a формальная система". Он еще более четко повторяет свое мнение в 1964 году (см. Ниже):

"Примечание добавлено 28 августа 1963 г.. Вследствие более поздних достижений, в частности того факта, что из-за А. М. Тьюринга Работа69 точное и, безусловно, адекватное определение общего понятия формальной системы70 Теперь можно дать полностью общую версию теорем VI и XI. Таким образом, можно строго доказать, что в каждой непротиворечивой формальной системе, содержащей определенный объем теории конечных чисел, существуют неразрешимые арифметические предложения и что, более того, непротиворечивость любой такой системы не может быть доказана в системе.
"69 Увидеть Тьюринг 1937, п. 249.
"70 На мой взгляд, термин «формальная система» или «формализм» никогда не следует использовать ни для чего, кроме этого понятия. На лекции в Принстоне (упомянутой в Принстонский университет 1946, п. 11 [см. Davis 1965, pp. 84-88 [т.е. Дэвис П. 84-88]]), я предложил некоторые трансфинитные обобщения формализмов, но это нечто радикально отличное от формальных систем в собственном смысле этого слова, характерным свойством которых является то, что рассуждение в них, в принципе, можно полностью заменить механическим. устройств ".[55]

Гёдель 1964 - У Гёделя Пост скриптум к конспектам его лекции 1934 г. IAS в Принстоне,[56] он повторяет, но еще более смело повторяет свое не слишком радужное мнение об эффективности вычислимости, определяемой Церкви λ-определимость и рекурсия (мы должны сделать вывод, что оба они очерняются из-за использования им множественного числа «определений» в дальнейшем). Это было в письме Мартину Дэвису (предположительно, когда он собирал Неразрешимый). Поражает повторение некоторых фраз:

«В результате последующих достижений, в частности, тот факт, что из-за работу А. М. Тьюринга, точное и, безусловно, адекватное определение общей концепции формальной системы теперь может быть дано, существование неразрешимых арифметических предложений и не-доказательность соответствия системы одной и той же системе теперь можно строго доказать для каждый согласованная формальная система, содержащая определенный объем теории конечных чисел.
«Работа Тьюринга дает анализ понятия« механическая процедура »(псевдоним« алгоритм »,« процедура вычисления »или« конечная комбинаторная процедура »). Показано, что это понятие эквивалентно концепции«Машина Тьюринга". * Формальную систему можно просто определить как любую механическую процедуру для создания формул, называемую доказуемыми формулами ... понятие формальной системы, суть которой состоит в том, что рассуждение полностью заменяется механическими операциями над формулами (обратите внимание, что вопрос о том, существуют ли конечные немеханический процедуры ... не эквивалентные никакому алгоритму, не имеют никакого отношения к адекватности определения «формальной системы» и «механической процедуры».
«... если« конечная процедура »понимается как« механическая процедура », на вопрос, поднятый в сноске 3, можно ответить утвердительно в отношении рекурсивности, как она определена в § 9, что эквивалентно общей рекурсивности, как определено сегодня (см. SC Kleene ( 1936 г.) ...) " [57]
" * Увидеть Тьюринг 1937 ... и почти одновременная статья Э. Л. Пост (1936) .... Что касается предыдущих эквивалентных определений вычислимости, которые, однако, гораздо менее подходят для нашей цели, см. A. Church 1936 ... "[58]

Сноска 3 находится в основной части лекций 1934 года:

"3 Обратное кажется верным, если помимо рекурсий по схеме (2) допускаются рекурсии других форм (например, по двум переменным одновременно). Это не может быть доказано, поскольку понятие конечных вычислений не определено, но оно служит эвристическим принципом ".[59]

Дэвис действительно замечает, что «на самом деле эквивалентность его [Геделя] определения [рекурсии] и Клини [1936] не совсем тривиален. Таким образом, несмотря на кажущуюся противоположность, сноска 3 этих лекций не является утверждением Тезис Чёрча."[60]

Ганди: «машинные вычисления», дискретные, детерминированные и ограниченные «локальной причинностью» скоростью света.

Робин Гандивлиятельная газета под названием Тезис Черча и принципы механизмов появляется в Barwise и другие. Ганди начинает с неожиданного выражения Тезис Черчав следующей рамке:

"1. Введение
«В этой статье мы будем использовать« вычислимый »для обозначения некоторого интуитивно данного понятия, а« вычислимый »означает« вычислимый с помощью Машина Тьюринга"; конечно, сейчас доступно много эквивалентных определений" вычислимого ".
"Тезис Чёрча. То, что эффективно вычислимо, можно вычислить.
«... И Черч, и Тьюринг имели в виду вычисления абстрактного человека с использованием некоторых механических приспособлений (таких как бумага и карандаш)»[61]

Роберт Соаре (1995, см. Ниже) были проблемы с этим кадрированием, учитывая Церкви статья (1936), опубликованная до Тьюринга «Приложение доказательства» (1937).

Ганди пытается «проанализировать механические процессы и, таким образом, привести аргументы в пользу следующего:

«Тезис М. То, что можно вычислить с помощью машины, вычислимо». [62]

Ганди "исключает из рассмотрения устройства, которые по сути являются аналоговыми машинами .... Единственные физические предположения, сделанные в отношении механических устройств (см. Принцип IV ниже), заключаются в том, что существует нижняя граница линейных размеров каждой атомной части устройства. и что существует верхняя граница (скорость света) скорости распространения изменений ».[63] Но затем он еще больше ограничивает свои машины:

«(2) Во-вторых, мы предполагаем, что прогресс вычислений с помощью механического устройства может быть описан дискретными терминами, так что рассматриваемые устройства в широком смысле являются цифровыми компьютерами.
«(3) Наконец, мы предполагаем, что устройство является детерминированным: то есть последующее поведение устройства однозначно определяется после того, как дано полное описание его начального состояния».[63]

Фактически он приводит аргумент в пользу этого «Тезиса M», который он называет своей «Теоремой», наиболее важным «Принципом» которой является «Принцип IV: Принцип локальной причинности»:

«Теперь мы подошли к наиболее важным из наших принципов. В анализе Тьюринга требование, чтобы действие зависело только от ограниченной части записи, было основано на человеческом ограничении. Мы заменяем это физическим ограничением, которое мы называем принцип локальной причинности. Его оправдание заключается в конечной скорости распространения эффектов и сигналов: современная физика отвергает возможность мгновенного действия на расстоянии ».[64]

В 1985 г. "Thesis M" адаптировали для Квантовая машина Тьюринга, в результате чего Принцип Черча – Тьюринга – Дойча.

Соаре

Соаретщательное изучение Вычислимость и рекурсия появляется. Он цитирует Гёделя Мнение 1964 г. (см. Выше) относительно "гораздо менее подходящего" определения вычислимости, и далее добавляет:

"Клини писал [1981b, с. 49], "Тьюринга вычислимость по своей сути убедительна », но« λ-определимость по своей сути неубедительна »и« общая рекурсивность едва ли такова (ее автора Гёделя в то время совсем не убедили) ... Большинство людей сегодня принимают тезис Тьюринга "[65]

Сноска 7 Соаре (1995) также улавливает Ганди "путаница", но, по-видимому, продолжается и в Ганди (1988). Эта путаница представляет собой серьезную ошибку исследования и / или мысли и остается облаком, нависающим над всей его программой:

"7Ганди на самом деле написал «тезис Чёрча», а не «тезис Тьюринга», как здесь написано, но, конечно, Ганди имел в виду последнее, по крайней мере, внутренне, потому что Тьюринг ничего не доказал в 1936 году или где-либо еще об общих рекурсивных функциях ».[66]

Брегер и проблема неявных аксиом

Брегер указывает на проблему, когда кто-то приближается к понятию «аксиоматически», то есть «аксиоматическая система» может включать в себя одно или несколько молчаливый аксиомы, которые остаются невысказанными при представлении набора аксиом.

Например, активный агент, обладающий знаниями (и способностями), может быть (потенциальной) фундаментальной аксиомой в любой аксиоматической системе: «необходимо человеческое существо - ноу-хау, которое не формализовано в аксиомах». ... Математика как чисто формальная система символов без человека, обладающего навыками работы с символами, невозможна ... "[67]

Он цитирует Гильберта:

«На университетской лекции, прочитанной в 1905 году, Гильберт считал« абсолютно необходимым »иметь« аксиому мысли »или« аксиому существования разума », прежде чем формулировать аксиомы в логике. На полях текста Гильберт добавлено позже: «априори философов». Он сформулировал эту аксиому следующим образом: «У меня есть способность думать об объектах и ​​обозначать их с помощью простых символов, таких как а, б, ..., х, у, ..., чтобы их можно было узнать однозначно. Моя мысль оперирует этими объектами определенным образом в соответствии с определенными правилами, и мое мышление способно обнаружить эти правила, наблюдая за собой, и полностью описать эти правила »[(Hilbert 1905, 219); см. Также (Peckhaus 1990, 62f и 227)] ".[68]

Брегер также подкрепляет свой аргумент примерами из Джузеппе Веронезе (1891) и Герман Вейль (1930-1). Далее он обсуждает проблему выражения набора аксиом на конкретном языке, то есть языке, известном агенту, например Немецкий.[69][70]

См. Больше об этом на Характеристики алгоритмов, особенно SearleМнение, что вне всяких вычислений должен быть наблюдатель, который придает значение используемым символам.

Зиг и аксиоматические определения

В "Феферфесте" - Соломона Фефермана 70 лет со дня рождения - Вилфрид Зиг сначала представляет статью, написанную двумя годами ранее, под названием «Вычисления человеком и машиной: концептуальный анализ», перепечатанную в (Sieg et al. 2002: 390–409). Ранее Зиг опубликовал «Механические процедуры и математический опыт» (Джордж, 1994, стр. 71ff), в котором рассказывается история «вычислимости», начиная с Ричард Дедекинд и заканчивая в 1950-х годах более поздними работами Алан Тьюринг и Стивен Коул Клини. Бумага Феферфест доводит предыдущую бумагу до основных моментов и в первую очередь останавливается на Робин Гандистатья 1980 года. Зиг расширяет «вычислимость на строковой машине» Тьюринга (человеческий «компьютер»), сводя ее к механизму «вычислимости на буквенной машине».[71] к параллельно машины Ганди.

Зиг цитирует более поздние работы, включая «работу Колмогорова и Успенского над алгоритмами» и (De Pisapia 2000), в частности, КУ-указатель-модель станка), и искусственные нейронные сети[72] и утверждает:

"Разделение неформального концептуального анализа и доказательства математической эквивалентности необходимо для признания того, что правильность Тезис Тьюринга (в общем) опирается на две опоры; а именно о правильности условий ограниченности и локальности для вычислительных машин и о правильности соответствующего центрального тезиса. Последний явно утверждает, что вычисления на компьютере могут быть воспроизведены непосредственно с помощью определенного типа машины. Какой бы удовлетворительной ни казалась эта линия аналитической аргументации, есть два слабых места: слабость ограничивающих условий (что такое символические конфигурации? Какие изменения могут повлиять на механические операции?) И соответствующая расплывчатость центрального тезиса. Мы, как бы мы ни повернулись, находимся в положении, которое методологически все еще неудовлетворительно ... ".[72]

Он утверждает, что «шагнул к более удовлетворительной позиции ... [путем] дальнейшего абстрагирования от конкретных типов конфигураций и операций ...»[72]

«Часто утверждается, что Тьюринг анализировал вычисления машин. Это исторически и систематически неточно, как должно было ясно прояснить мое изложение. Только в 1980 году ученик Тьюринга, Робин Ганди, охарактеризовал машинные вычисления».[72]

Правильно ли вышеприведенное утверждение или нет, остается размышлять читателю. Зиг продолжает описывать анализ Ганди (см. Выше 1980). При этом он пытается формализовать то, что он называет "Машины Ганди"(с подробным анализом в Приложении). О машинах Ганди:

«... определение машины Ганди - это« абстрактное »математическое определение, которое воплощает ... свойства параллельных вычислений ... Во-вторых, машины Ганди разделяют с группами и топологическими пространствами общую черту абстрактные аксиоматические определения, а именно, что они допускать самые разные интерпретации. В-третьих, ... вычисления любой машины Ганди могут быть смоделированы буквенной машиной, [и] лучше всего понимается как теорема представления для аксиоматического понятия. [жирный шрифт добавлен]
«Аксиоматический подход абстрактно отражает сущность вычислительных процессов. Разница между двумя типами вычислителей, которые я описал, сводится к тому факту, что вычислители Тьюринга изменяют одну ограниченную часть состояния, тогда как машины Ганди работают параллельно на произвольном количестве ограниченных частей.Теоремы представления гарантируют, что модели аксиом вычислительно эквивалентны Машины Тьюринга в их буквенном разнообразии ".[73]

Заметки

  1. ^ Soare 1996: 5
  2. ^ ср: ван Хейеноорт 1976: 94
  3. ^ ван Хейеноорт 1976: 83
  4. ^ Gödel 1931a в (Davis 1965: 6), 1930 в (van Heijenoort 1967: 596)
  5. ^ Теорема Гёделя IX, Gödel 1931a в (Davis 1965: 36)
  6. ^ Этот перевод и оригинальный текст на немецком языке можно найти в (Дершовиц и Гуревич 2007: 1-2).
  7. ^ Гедель 1930 в (van Heijenoort 1967: 592ff)
  8. ^ ван Хейенорт 1967: 582
  9. ^ Дэвис 2000: 146
  10. ^ Дэвис 1965: 108
  11. ^ Хокинг 2005: 1121
  12. ^ Клини 1952: 271
  13. ^ ср. Клини 1952: 272-273
  14. ^ Клини 1952: 273
  15. ^ ср. Клини 1952: 274
  16. ^ Ходжес 1983: 92
  17. ^ Клини 1936 в (Дэвис 1965: 237ff)
  18. ^ Дэвис 1965: 4
  19. ^ Дэвис 1965: 39–40
  20. ^ Дэвис 1965: 40
  21. ^ (Доусон 1997: 101)
  22. ^ [246: «KG Мартину Дэвису, 15 февраля 1965 г., цитируется в Gödel 1986–, том I, стр. 341»]
  23. ^ Gödel 1964 в (Davis 1965: 247) также перепечатан в (Gödel 1986, vol. I: 369–371)
  24. ^ Курсив в оригинале Dawson 1997: 101–102.
  25. ^ Клини 1935 в (Davis 1965: 236ff)
  26. ^ Клини 1935 в (Дэвис 1965: 237)
  27. ^ Клини 1935 в (Дэвис 1965: 239)
  28. ^ Церковь 1936 г. в (Davis 1965: 88)
  29. ^ Церковь 1936 г. в (Davis 1965: 90)
  30. ^ Церковь 1936 г. в (Дэвис 1965: 95)
  31. ^ Церковь 1936 г. в (Дэвис 1965: 100)
  32. ^ Merriam-Webster 1983: идентификация
  33. ^ а б c Пост 1936 в (Дэвис 1965: 289)
  34. ^ курсив добавлен, Пост 1936 в (Davis 1965: 291)
  35. ^ Курсив в оригинале, Сообщение в (Davis 1965: 291)
  36. ^ а б c Тьюринг 1937 в (Дэвис 1967: 118)
  37. ^ Тьюринг 1937 в (Дэвис 1967: 116)
  38. ^ а б Тьюринг 1937 в (Дэвис 1967: 117)
  39. ^ Тьюринг 1937 в (Дэвис 1967: 138)
  40. ^ Тьюринг 1937 в (Дэвис 1967: 119)
  41. ^ Тьюринг 1937 в (Дэвис 1967: 149)
  42. ^ Клини [3], Тьюринг [2]
  43. ^ жирным шрифтом добавлено, Тьюринг 1939 в (Davis 1965: 160)
  44. ^ Россер 1939 в (Дэвис 1967: 223-230)
  45. ^ цитата и сноска из Россера 1939 в (Davis 1967: 225-226)
  46. ^ Церковь 1936a в (Davis 1965: 88ff)
  47. ^ Тьюринг 1937в (Дэвис 1965: 115 и далее)
  48. ^ Пост, 1936 г., Конечные комбинаторные процессы - Формулировка 1, Журнал символической логики, Vol. 1, No. 3 (сентябрь 1936 г.), стр. 103-105
  49. ^ Церковь, 1938 г., Конструктивный второй номер класса, Бык. Амер. Математика. Soc. т. 44, Number 4, 1938, pp. 224-232]
  50. ^ Клини 1952 в (Davis 1965: 300-301)
  51. ^ Клини 1952 в (Davis 1965: 317)
  52. ^ После 1936 года: 321
  53. ^ Клини 1952 в (Дэвис 1965: 321)
  54. ^ ср. Ганди 1978 в (Barwise et al 1980: 125)
  55. ^ Гедель 1963 в (van Heijenoort 1976: 616)
  56. ^ Из-за языковой разницы Гёдель называет IAS «AIS».
  57. ^ Гедель 1934 в (Дэвис 1967: 71-73)
  58. ^ Гёдель 1934 в (Дэвис 1967: 72)
  59. ^ Гёдель 1934 в (Дэвис 1967: 44)
  60. ^ Гёдель 1934 в (Дэвис 1967: 40)
  61. ^ Ганди в (Barwise 1980: 123)
  62. ^ Ганди в (Barwise 1980: 124
  63. ^ а б Ганди в (Barwise 1980: 126)
  64. ^ Ганди в (Barwise 1980: 135)
  65. ^ Soare 1996: 13
  66. ^ Soare 1996: 11
  67. ^ Брегер в (Groshoz and Breger 2002: 221)
  68. ^ скобки и ссылки в оригинале, Брегер в (Groshoz and Breger 2002: 227)
  69. ^ Брегер в (Groshoz and Breger 2002: 228)
  70. ^ Действительно, Брегер приводит убедительный пример этого в своей статье (Breger in (Groshoz and Breger 2002: 228-118)).
  71. ^ Тезис Тьюринга - см. Рисунок, стр. 398
  72. ^ а б c d Sieig 2002: 399
  73. ^ Зиг 2002: 404

использованная литература

  • Барвайз, Джон, Х. Дж. Кейслер, и К. Кунен, Редакторы, 1980, Клини симпозиум, 426 страниц, Издательство Северной Голландии, Амстердам, ISBN 0-444-85345-6
  • Церковь, А., 1936a, в (Davis 1965: 88ff), "Неразрешимая проблема элементарной теории чисел"
  • Черч, A., 1936b, в (Davis 1965: 108ff), «Заметка о проблеме Entscheidungsproblem».
  • Церковь, А., 1938 г., Конструктивный второй номер класса, Бык. Амер. Математика. Soc. т. 44, Number 4, 1938, pp. 224–232].
  • Дэвис, Мартин редактор, 1965 г., Неразрешимые, основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых задачах и вычислимых функциях, Raven Press, Нью-Йорк, ISBN 0-911216-01-4. Здесь находятся все оригинальные документы, в том числе работы Гёделя, Черча, Тьюринг, Россер, Клини и Пост, упомянутые в этой статье. Ценный комментарий Дэвиса предваряет большинство статей.
  • Дэвис, Мартин, 2001 г., Двигатели логики: математики и происхождение компьютера, W. W. Norton & Company, Нью-Йорк, ISBN 0-393-04785-7 пбк.
  • Доусон, Джон Уильям младший, 1997 г., Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя, 361 страница, A. K. Peters, Wellesley, MA, ISBN 1-56881-025-3, QA29.058D39.
  • Доусон, Джон Уильям и Джон Уильям Доусон-младший, 2005 г., Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя, 362 страницы, A. K. Peters, Wellesley, MA, ISBN 978-1-56881-025-6
  • Де Пизапиа, Н., 2000, Машины Ганди: абстрактная модель параллельных вычислений для машин Тьюринга, Игры Жизни и искусственных нейронных сетей, РС. Диссертация, Университет Карнеги-Меллона, Питтсбург.
  • Дершовиц, Начум и Гуревич Юрий, 2007, Естественная аксиоматизация тезиса Чёрча, http://research.microsoft.com/~gurevich/Opera/188.pdf
  • Ганди, Робин, 1978, Тезис Чёрча и принципы механизмовв (Barwise et al. 1980: 123-148)
  • Георгий, Александр (+ ред.), 1994, Математика и разум, 216 страниц, Нью-Йорк, Oxford University Press, ISBN 0-19-507929-9
  • Гёдель, К., 1930, в (van Heijenoort 1967: 592ff), Некоторые метаматематические результаты о полноте и непротиворечивости
  • Гёдель, К., 1931a, в (Davis 1965: 4-38), О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем. Я.
  • Гёдель, К., 1931b, в (van Heijenoort 1976: 616ff) О полноте и последовательности
  • Гёдель, К., 1934, в (Davis 1965: 39-74), О неразрешимых предложениях формальных математических систем
  • Гёдель, К., 1936, в (Davis 1965: 82ff), О длине доказательств, "Переведено редактором из оригинальной статьи в Ergenbnisse eines Mathematishen Kolloquiums, Heft 7 (1936) pp. 23-24 ». Цитируется Клини (1952) как« Über die Lāange von Beweisen »в Ergebnisse eines math. Koll, так далее.
  • Гёдель К., 1964, в (Davis 1965: 71ff), Пост скриптум
  • Грошоз, Эмили и Брегер, Герберт, 2000, Рост математических знаний, 416 страниц, Kluwer Academic Publishers, Dordrect, Нидерланды, ISBN 0-7923-6151-2.
  • Хокинг, Стивен, 2005, Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю, под редакцией, с комментарием Стивена Хокинга, Running Press, Филадельфия, ISBN 0-7624-1922-9
  • Ходжес, Эндрю, 1983 , Алан Тьюринг: Загадка, 1-е издание, Саймон и Шустер, Нью-Йорк, ISBN 0-671-52809-2
  • Клини, С., 1935, в (Davis 1965: 236ff) Общие рекурсивные функции натуральных чисел
  • Клини, С. К., 1971, 1952 (10-е впечатление, 1991) Введение в метаматематику, 550 страниц, North-Holland Publishing Company (Wolters-Noordhoff Publishing) ISBN 0-7204-2103-9
  • Мерриам-Вебстер Inc., 1983 г., Девятый новый университетский словарь Вебстера, 1563 страницы, Merriam-Webster Inc., Спрингфилд, Массачусетс, ISBN 0-87779-509-6
  • Пост, Э., 1936, в (Davis 1965: 288ff), Конечные комбинаторные процессы - формулировка 1 или Журнал символической логики, Vol. 1, No. 3 (сентябрь 1936 г.), стр. 103–105.
  • Россер. Дж. Б., 1939, Неформальное изложение доказательств теорем Гёделя и Чёрча., Журнал символической логики. Vol. 4. (1939), стр. 53–60 и перепечатано в (Davis 1967: 223–230).
  • Зиг, Вильфрид, Ричард Соммер, и Кэролайн Талкотт (ред.), 2002, Размышления об основах математики: очерки в честь Соломона Фефермана, конспекты лекций по логике 15, 444 стр., A. K Peters, Ltd., ISBN 1-56881-169-1
  • Соаре, Роберт, 1996, Вычислимость и рекурсия, "Бюллетень символической логики 2", том 2, номер 3, сентябрь 1996 г., стр. 284–321.
  • Тьюринг, А. (1937) [Передано Обществу 1936], "О вычислимых числах в приложении к Entscheidungsproblem" (PDF), Труды Лондонского математического общества, 2, 42, стр. 230–65, Дои:10.1112 / плмс / с2-42.1.230CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт) и Тьюринг, А. (1938). «О вычислимых числах в приложении к Entscheidungsproblem: исправление». Труды Лондонского математического общества. 2. 43 (опубликовано в 1937 г.). С. 544–6. Дои:10.1112 / плмс / с2-43.6.544. (См. Также: Davis 1965: 115ff)
  • Тьюринг, А., 1939, в (Davis 1965: 154ff), Системы логики на основе порядковых чисел
  • ван Хейеноорт, Жан, 1976, От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 116 страниц, 1879–1931, 3-е издание, оригинальное издание 1967 г., Harvard University Press, Cambridge Massachusetts, ISBN 0-674-31844-7 (пбк.).

внешние ссылки