WikiDer > Голоморф (математика)

Holomorph (mathematics)

В математика, особенно в районе алгебра известный как теория групп, то голоморф из группа группа, которая одновременно содержит (копии) группы и ее группа автоморфизмов. Голоморф предоставляет интересные примеры групп и позволяет рассматривать групповые элементы и групповые автоморфизмы в едином контексте. В теории групп для группы , голоморф обозначенный можно описать как полупрямой продукт или как группа перестановок.

Хол (г) как полупрямое произведение

Если это группа автоморфизмов из тогда

где умножение дается выражением

[Ур. 1]

Обычно полупрямой продукт оформляется в виде где и группы и это гомоморфизм и где умножение элементов в полупрямом произведении задается как

который хорошо определенный, поскольку и поэтому .

Для голоморфа и это карта идентичности, поэтому мы подавляем написание явно в умножении, данном в [Ур. 1] выше.

Например,

  • то циклическая группа порядка 3
  • где
  • с умножением на:
где показатели принимаются мод 3 и те из мод 2.

Наблюдайте, например,

и эта группа не абелевский, так как , так что это неабелева группа порядка 6, которые, согласно основной теории групп, должны быть изоморфный к симметричная группа .

Хол (г) как группу подстановок

Группа г действует естественным образом на себя посредством левого и правого умножения, каждое из которых дает гомоморфизм от г в симметричная группа на базовом наборе г. Один гомоморфизм определяется как λ: г → Сим (г), λ(г)(час) = г·час. Это, г отображается на перестановка полученный умножением слева каждого элемента г от г. Аналогично второй гомоморфизм ρ: г → Сим (г) определяется ρ(г)(час) = час·г−1, где обратное гарантирует, что ρ(г·час)(k) = ρ(г)(ρ(час)(k)). Эти гомоморфизмы называются левым и правым. регулярные представительства из г. Каждый гомоморфизм инъективный, факт, называемый Теорема Кэли.

Например, если г = C3 = {1, Икс, Икс2 } это циклическая группа третьего порядка, то

  • λ(Икс)(1) = Икс·1 = Икс,
  • λ(Икс)(Икс) = Икс·Икс = Икс2, и
  • λ(Икс)(Икс2) = Икс·Икс2 = 1,

так λ(Икс) принимает (1, Икс, Икс2) к (Икс, Икс2, 1).

Образ λ является подгруппой Sym (г) изоморфна г, и это нормализатор в Sym (г) определяется как голоморф N из г. Для каждого п в N и г в г, существует час в г такой, что п·λ(г) = λ(часп. Если элемент п голоморфа фиксирует идентичность из г, то для 1 в г, (п·λ(г))(1) = (λ(часп) (1), но левая часть п(г), а правая часть час. Другими словами, если п в N фиксирует личность г, то для каждого г в г, п·λ(г) = λ(п(г))·п. Если г, час являются элементами г, и п является элементом N фиксация личности г, то применяя это равенство дважды к п·λ(гλ(час) и один раз в (эквивалентное) выражение п·λ(г·час) дает, что п(гп(час) = п(г·час). То есть каждый элемент N что фиксирует личность г на самом деле автоморфизм из г. Такой п нормализует λ(г), и единственный λ(г), который фиксирует тождество, λ(1). Настройка А быть стабилизатор тождества, подгруппа, порожденная А и λ(г) является полупрямой продукт с участием нормальная подгруппа λ(г) и дополнять А. поскольку λ(г) является переходный, подгруппа, порожденная λ(г) и точечный стабилизатор А все из N, который показывает голоморф как группу перестановок, изоморфен голоморфу как полупрямое произведение.

Это полезно, но не имеет прямого отношения к централизатор из λ(г) в Sym (г) является ρ(г) их пересечение ρ(Z (г)) = λ(Z (г)), где Z (г) это центр из г, и это А является общим дополнением к обеим этим нормальным подгруппам N.

Свойства

  • ρ(г) ∩ Aut (г) = 1
  • Aut (г) нормализует ρ(г) так что канонически ρ(г) Aut (г) ≅ г ⋊ Aut (г)
  • поскольку λ(г)ρ(г)(час) = ghg−1 ( это группа внутренние автоморфизмы из г.)
  • Kг это характеристическая подгруппа если и только если λ(K) ⊴ Hol (г)

использованная литература

  • Холл, Маршалл-младший. (1959), Теория групп, Макмиллан, Г-Н 0103215