WikiDer > Теорема Хопфа – Ринова.
Hopf–Rinow theorem
Теорема Хопфа – Ринова. представляет собой набор утверждений о геодезическая полнота из Римановы многообразия. Он назван в честь Хайнц Хопф и его ученик Вилли Ринов, опубликовавший его в 1931 году.[1]
утверждение
Позволять (M, г) - связное риманово многообразие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
- В закрыто и ограниченный подмножества из M находятся компактный;
- M это полный метрическое пространство;
- M геодезически завершен; то есть для каждого п в M, то экспоненциальная карта expп определяется на всей касательное пространство ТпM.
Кроме того, любое из вышеперечисленных означает, что при любых двух точках п и q в Mсуществует минимизирующая длину геодезический соединяющие эти две точки (геодезические вообще критические точки для длина функциональные и могут быть минимальными, а могут и не быть).
Вариации и обобщения
- Теорема Хопфа – Ринова обобщается на длины метрических пространств следующим образом:
- Если длина-метрическое пространство (M, d) является полный и локально компактный тогда любые две точки в M могут быть связаны минимизация геодезических, и любые ограниченные закрытый набор в M является компактный.
- Теорема не верна в бесконечных измерениях: (Аткин 1975) показал, что две точки в бесконечномерном полном гильбертовом многообразии не обязательно соединять геодезической.[2]
- Теорема также не обобщается на Лоренцевы многообразия: the Тор Клифтона – Поля предоставляет компактный, но неполный пример.[3]
Заметки
- ^ Hopf, H .; Ринов, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen Differencegeometrischen Fläche". Комментарии Mathematici Helvetici. 3 (1): 209–225. Дои:10.1007 / BF01601813. HDL:10338.dmlcz / 101427.
- ^ Аткин, К. Дж. (1975), «Теорема Хопфа – Ринова неверна в бесконечных измерениях» (PDF), Бюллетень Лондонского математического общества, 7 (3): 261–266, Дои:10.1112 / blms / 7.3.261, Г-Н 0400283.
- ^ О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности, Чистая и прикладная математика, 103, Academic Press, стр. 193, г. ISBN 9780080570570.
использованная литература
- Юрген Йост (28 июля 2011 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ (6-е изд.). Universitext. Springer Science & Business Media. Дои:10.1007/978-3-642-21298-7. ISBN 978-3-642-21298-7. См. Раздел 1.7.
- Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Теорема Хопфа-Ринова", Энциклопедия математики, EMS Press