WikiDer > Гиперболический треугольник

Hyperbolic triangle

Гиперболический треугольник, вложенный в седловидная поверхность

В гиперболическая геометрия, а гиперболический треугольник это треугольник в гиперболическая плоскость. Он состоит из трех отрезки линии называется стороны или края и три точки называется углы или вершины.

Как и в Евклидово случае, три точки гиперболическое пространство произвольного измерение всегда лежать в одной плоскости. Следовательно, плоские гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любой более высокой размерности гиперболических пространств.

An Треугольная мозаика порядка 7 имеет равносторонние треугольники с 2π / 7 радианами внутренние углы.

Определение

Гиперболический треугольник состоит из трех не-коллинеарен точек и трех отрезков между ними.^[1]

Свойства

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам треугольники в Евклидова геометрия:

Каждый гиперболический треугольник имеет вписанный круг но не каждый гиперболический треугольник имеет описанный круг (см. ниже). Его вершины могут лежать на орицикл или гиперцикл.

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам треугольников в сферический или эллиптическая геометрия:

Два треугольника с одинаковой суммой углов равны по площади.
Есть верхняя граница площади треугольников.
Существует верхняя граница радиуса вписанный круг.
Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они соответствуют конечному произведению линейных отражений.
Два треугольника с соответствующими углами равны конгруэнтны (т. Е. Все подобные треугольники конгруэнтны).

Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, противоположными свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии:

Сумма углов треугольника меньше 180 °.
Площадь треугольника пропорциональна дефициту его суммы углов от 180 °.

Гиперболические треугольники также обладают некоторыми свойствами, которых нет в других геометриях:

Некоторые гиперболические треугольники не имеют описанный круг, это тот случай, когда хотя бы одна из его вершин является идеальная точка или когда все его вершины лежат на орицикл или с одной стороны гиперцикл.
Гиперболические треугольники тонкиесуществует максимальное расстояние δ от точки на ребре до одного из двух других ребер. Этот принцип породил δ-гиперболическое пространство.

Треугольники с идеальными вершинами

Три идеальных треугольника в Модель диска Пуанкаре

Определение треугольника можно обобщить, разрешив вершины на идеальная граница плоскости, удерживая стороны внутри плоскости. Если пара сторон предельная параллель (т.е. расстояние между ними приближается к нулю, поскольку они стремятся к идеальная точка, но они не пересекаются), то они заканчиваются на идеальная вершина представлен как омега-точка.

Можно также сказать, что такая пара сторон образует угол нуль.

Треугольник с нулевым углом невозможен в Евклидова геометрия для Прямо стороны лежат на четких линиях. Однако такие нулевые углы возможны при касательные круги.

Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольник.

Особые треугольники с идеальными вершинами:

Треугольник параллельности

Треугольник, одна вершина которого - идеальная точка, один угол прямой, третий угол - угол параллельности на длину стороны между правым и третьим углом.

Швейкартский треугольник

Треугольник, в котором две вершины - идеальные точки, а оставшийся угол равен правильно, один из первых гиперболических треугольников (1818 г.), описанный Фердинанд Карл Швейкарт.

Идеальный треугольник

Треугольник, все вершины которого являются идеальными точками, идеальный треугольник - это самый большой из возможных треугольников в гиперболической геометрии из-за нулевой суммы углов.

Стандартизированная гауссова кривизна

Отношения между углами и сторонами аналогичны отношениям сферическая тригонометрия; масштаб длины как для сферической геометрии, так и для гиперболической геометрии может быть определен, например, как длина стороны равностороннего треугольника с фиксированными углами.

Масштаб длины наиболее удобен, если длины измеряются в абсолютная длина (особая единица длины, аналогичная соотношению расстояний в сферическая геометрия). Такой выбор этой шкалы длины упрощает формулы.^[2]

Что касается Модель полуплоскости Пуанкаре абсолютная длина соответствует бесконечно малая метрика ${ displaystyle ds = { frac {| dz |} { operatorname {Im} (z)}}}$ и в Модель диска Пуанкаре к ${ displaystyle ds = { frac {2 | dz |} {1- | z | ^ {2}}}}$ .

С точки зрения (постоянного и отрицательного) Гауссова кривизна $K$ гиперболической плоскости единица абсолютной длины соответствует длине

{ displaystyle R = { frac {1} { sqrt {-K}}}}

.

В гиперболическом треугольнике сумма углов А, B, C (соответственно противоположной стороне с соответствующей буквой) строго меньше, чем прямой угол. Разница между мерой прямого угла и суммой углов треугольника называется величиной дефект треугольника. В площадь гиперболического треугольника равна его дефекту, умноженному на квадрат из $р$ :

{ displaystyle ( pi -A-B-C) R ^ {2} {} {} !}

.

Эта теорема, впервые доказанная Иоганн Генрих Ламберт,^[3] относится к Теорема Жирара в сферической геометрии.

Тригонометрия

Во всех формулах, указанных ниже, по сторонам $а$ , $б$ , и $c$ должен измеряться в абсолютная длина, блок так, чтобы Гауссова кривизна $K$ плоскости равно −1. Другими словами, количество $р$ в абзаце выше предполагается равным 1.

Тригонометрические формулы для гиперболических треугольников зависят от гиперболические функции sinh, cosh и tanh.

Тригонометрия прямоугольных треугольников

Если C это прямой угол тогда:

В синус угла А это гиперболический синус стороны, противоположной углу, деленному на гиперболический синус из гипотенуза.

{ displaystyle sin A = { frac { textrm {sinh (напротив)}} { textrm {sinh (гипотенуза)}}} = { frac { sinh a} {, sinh c ,}} . ,}

В косинус угла А это гиперболический тангенс соседней ноги, разделенной на гиперболический тангенс гипотенузы.

{ displaystyle cos A = { frac { textrm {tanh (смежный)}} { textrm {tanh (гипотенуза)}}} = { frac { tanh b} {, tanh c ,}} . ,}

В касательная угла А это гиперболический тангенс противоположной ноги, разделенной на гиперболический синус соседней ноги.

{ displaystyle tan A = { frac { textrm {tanh (напротив)}} { textrm {sinh (смежный)}}} = { frac { tanh a} {, sinh b ,}} }

.

В гиперболический косинус соседней ножки к углу A - это косинус угла B, деленного на синус угла A.

{ displaystyle { textrm {cosh (смежный)}} = { frac { cos B} { sin A}}}

.

В гиперболический косинус гипотенузы - произведение гиперболические косинусы ног.

{ displaystyle { textrm {cosh (гипотенуза)}} = { textrm {cosh (смежный)}} { textrm {cosh (напротив)}}}

.

В гиперболический косинус гипотенузы также является произведением косинусы углов, разделенных на произведение их синусы.^[4]

{ displaystyle { textrm {cosh (гипотенуза)}} = { frac { cos A cos B} { sin A sin B}} = cot A cot B}

Отношения между углами

У нас также есть следующие уравнения:^[5]

{ Displaystyle соз А = сп а грех В}

{ displaystyle sin A = { frac { cos B} { cosh b}}}

{ displaystyle tan A = { frac { cot B} { cosh c}}}

{ Displaystyle соз В = сш б грех А}

{ Displaystyle с = детская кроватка А детская кроватка В}

Площадь

Площадь прямоугольного треугольника составляет:

{ displaystyle { textrm {Area}} = { frac { pi} {2}} - angle A- angle B}

также

{ displaystyle { textrm {Area}} = 2 arctan ( tanh ({ frac {a} {2}}) tanh ({ frac {b} {2}}))}

^{[нужна цитата]}^[6]

Угол параллельности

Экземпляр омега-треугольник под прямым углом обеспечивает конфигурацию для изучения угол параллельности в треугольнике.

В этом случае угол B = 0, а = с = ${ displaystyle infty}$ и ${ Displaystyle { textrm {tanh}} ( infty) = 1}$ , в результате чего ${ displaystyle cos A = { textrm {tanh (смежный)}}}$ .

Равносторонний треугольник

Формулы тригонометрии прямоугольных треугольников также задают отношения между сторонами s и углы А из равносторонний треугольник (треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны).

Отношения бывают:

{ displaystyle cos A = { frac {{ textrm {tanh}} { frac {1} {2}} s} {{ textrm {tanh}} (s)}}}

{ displaystyle cosh { frac {1} {2}} s = { frac { cos ({ frac {1} {2}} A)} { sin (A)}} = { frac { 1} {2 sin ({ frac {1} {2}} A)}}}

Общая тригонометрия

Будь то C является прямым углом или нет, выполняются следующие соотношения: гиперболический закон косинусов составляет:

{ Displaystyle сш с = сш а сш б- зп а зп б соз С,}

это двойственная теорема является

{ Displaystyle соз С = - соз А соз В + грех А грех В сш с,}

Также есть закон синуса:

{ displaystyle { frac { sin A} { sinh a}} = { frac { sin B} { sinh b}} = { frac { sin C} { sinh c}},}

и формула из четырех частей:

{ Displaystyle соз С сп а = зп а ко Ь- грех С кроватка В}

который выводится так же, как аналог формулы в сферической тригонометрии.

Смотрите также

Для гиперболической тригонометрии:

использованная литература

^ Стотерс, Уилсон (2000), Гиперболическая геометрия, Университет Глазго, интерактивный обучающий сайт
^ Нидхэм, Тристан (1998). Визуальный комплексный анализ. Издательство Оксфордского университета. п. 270. ISBN 9780198534464.
^ Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий. Тексты для выпускников по математике. 149. Springer. п. 99. ISBN 9780387331973. То, что площадь гиперболического треугольника пропорциональна его угловому дефекту, впервые появилось в монографии Ламберта. Theorie der Parallellinien, который был опубликован посмертно в 1786 году.
^ Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправлено 4. печ. Изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п.433. ISBN 0-387-90694-0.
^ Смогоржевский, А. Геометрия Лобачевского. Москва 1982: Мир. п. 63.CS1 maint: location (ссылка на сайт)
^ «Площадь прямоугольного гиперболического треугольника в зависимости от длин сторон». Обмен стеком Математика. Получено 11 октября 2015.

дальнейшее чтение

Светлана Каток (1992) Фуксовы группы, Издательство Чикагского университета ISBN 0-226-42583-5

[1] Стотерс, Уилсон (2000), Гиперболическая геометрия, Университет Глазго, интерактивный обучающий сайт

[2] Нидхэм, Тристан (1998). Визуальный комплексный анализ. Издательство Оксфордского университета. п. 270. ISBN 9780198534464.

[3] Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий. Тексты для выпускников по математике. 149. Springer. п. 99. ISBN 9780387331973. То, что площадь гиперболического треугольника пропорциональна его угловому дефекту, впервые появилось в монографии Ламберта. Theorie der Parallellinien, который был опубликован посмертно в 1786 году.

[4] Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправлено 4. печ. Изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п.433. ISBN 0-387-90694-0.

[5] Смогоржевский, А. Геометрия Лобачевского. Москва 1982: Мир. п. 63.CS1 maint: location (ссылка на сайт)

[6] «Площадь прямоугольного гиперболического треугольника в зависимости от длин сторон». Обмен стеком Математика. Получено 11 октября 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Navigation