WikiDer > Интеграция с использованием параметрических производных

Integration using parametric derivatives

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны)

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найдите источники: «Интеграция с использованием параметрических производных» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Июль 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью к обеспечение большего контекста для читателя. (Июнь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

(Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В исчисление, интегрирование по параметрическим производным, также называемый параметрическое интегрирование,^[1] это метод интеграция определенные функции. Он часто используется в физике и похож на интеграция путем замены.

Пример

Например, предположим, что мы хотим найти интеграл

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2} e ^ {- 3x} , dx.}

Поскольку это продукт двух функций, которые легко интегрировать по отдельности, повторяющиеся интеграция по частям это, безусловно, один из способов его оценить. Однако мы также можем оценить это, начав с более простого интеграла и дополнительного параметра, которым в данном случае является т = 3:

{ displaystyle { begin {align} & int _ {0} ^ { infty} e ^ {- tx} , dx = left [{ frac {e ^ {- tx}} {- t}} right] _ {0} ^ { infty} = left ( lim _ {x to infty} { frac {e ^ {- tx}} {- t}} right) - left ({ frac {e ^ {- t0}} {- t}} right) & = 0- left ({ frac {1} {- t}} right) = { frac {1} {t }}. end {выровнены}}}

Это сходится только для т > 0, что верно для искомого интеграла. Теперь, когда мы знаем

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- tx} , dx = { frac {1} {t}},}

мы можем дифференцировать обе части дважды по т (не Икс), чтобы добавить коэффициент Икс² в исходном интеграле.

{ displaystyle { begin {align} & { frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- tx} , dx = { frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} { frac {1} {t}} [10pt] & int _ {0} ^ { infty} { frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} e ^ {- tx} , dx = { frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} { frac {1} {t}} [10pt] & int _ {0} ^ { infty} { frac {d} {dt}} left (-xe ^ {- tx} right) , dx = { frac {d} {dt}} left (- { frac {1} {t ^ {2}}} right) [10pt] & int _ {0} ^ { infty} x ^ {2} e ^ { -tx} , dx = { frac {2} {t ^ {3}}}. end {align}}}

Это та же форма, что и искомый интеграл, где т = 3. Подставляя это в приведенное выше уравнение, получаем значение:

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2} e ^ {- 3x} , dx = { frac {2} {3 ^ {3}}} = { frac {2} {27}}.}

Рекомендации

^ Затя, Аурел Дж. (Декабрь 1989 г.). "Методы параметрической интеграции | Математическая ассоциация Америки" (PDF). www.maa.org. Математический журнал. Получено 23 июля 2019.

внешняя ссылка

WikiBooks: Parametric_Integration

Этот математический анализ–Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.