WikiDer > Гипотеза Хабибуллина об интегральных неравенствах - Википедия

Эта статья может требовать уборка встретиться с Википедией стандарты качества. Нет причина очистки был указан. Пожалуйста помоги улучшить эту статью если вы можете. (Май 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математике Гипотеза Хабибуллина, названный в честь Б. Н. Хабибуллин, относится к Палейпроблема^[1] для плюрисубгармонических функций и различных экстремальные проблемы в теории целые функции нескольких переменных.

Первое утверждение в терминах логарифмически выпуклых функций

Гипотеза Хабибуллина (версия 1, 1992 г.). Позволять ${ displaystyle displaystyle S}$ быть неотрицательным возрастающая функция на полпути ${ displaystyle [0, + infty)}$ такой, что ${ Displaystyle Displaystyle S (0) = 0}$. Предположить, что ${ Displaystyle Displaystyle S (е ^ {х})}$ выпуклая функция от ${ Displaystyle х в [- infty, + infty)}$. Позволять ${ displaystyle lambda geq 1/2}$, ${ Displaystyle п geq 2}$, и ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$. Если

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} S (tx) , (1-x ^ {2}) ^ {n-2} , x , dx leq t ^ { lambda} { текст {для всех}} t in [0, + infty),}$

(1)

тогда

${ displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} S (t) , { frac {t ^ {2 lambda -1}} {(1 + t ^ {2 lambda}) ^ {2 }}} , dt leq { frac { pi , (n-1)} {2 lambda}} prod _ {k = 1} ^ {n-1} { Bigl (} 1+ { frac { lambda} {2k}} { Bigr)}.}$

(2)

Это утверждение гипотезы Хабибуллина завершает его обзор.^[2]

Связь с бета-функцией Эйлера

Отметим, что произведение в правой части неравенства (2) относится к теории Эйлера. Бета-функция ${ Displaystyle mathrm {B}}$:

${ displaystyle { frac { pi , (n-1)} {2 lambda}} prod _ {k = 1} ^ {n-1} { Bigl (} 1 + { frac { lambda } {2k}} { Bigr)} = { frac { pi , (n-1)} { lambda ^ {2}}} cdot { frac {1} { mathrm {B} ( лямбда / 2, n)}}}$

Обсуждение

Для каждого фиксированного ${ displaystyle lambda geq 1/2}$ функция

${ Displaystyle S (T) = 2 (N-1) prod _ {k = 1} ^ {n-1} { Bigl (} 1 + { frac { lambda} {2k}} { Bigr) } , t ^ { lambda},}$

превращает неравенства (1) и (2) к равенствам.

Гипотеза Хабибуллина верна для ${ displaystyle lambda leq 1}$ без предположения о выпуклости ${ Displaystyle S (е ^ {х})}$. Между тем, можно показать, что эта гипотеза неверна без некоторых условий выпуклости для ${ displaystyle S}$. В 2010, Р. А. Шарипов показал, что гипотеза неверна в случае ${ displaystyle n = 2}$ и для ${ displaystyle lambda = 2}$.^[3]

Второе утверждение в терминах возрастающих функций

Гипотеза Хабибуллина (версия 2). Позволять ${ displaystyle displaystyle h}$ - неотрицательная возрастающая функция на полупрямой ${ displaystyle [0, + infty)}$ и ${ displaystyle alpha> 1/2}$. Если

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {h (tx)} {x}} , (1-x) ^ {n-1} , dx leq t ^ { alpha} { text {для всех}} t in [0, + infty),}$

тогда

${ displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} { frac {h (t)} {t}} , { frac {dt} {1 + t ^ {2 alpha}}} leq { frac { pi} {2}} prod _ {k = 1} ^ {n-1} { Bigl (} 1 + { frac { alpha} {k}} { Bigr)} = { frac { pi} {2 alpha}} cdot { frac {1} { mathrm {B} ( alpha, n)}}.}.$

Третье утверждение в терминах неотрицательных функций

Гипотеза Хабибуллина (версия 3). Позволять ${ displaystyle displaystyle q}$ - неотрицательная непрерывная функция на полупрямой ${ displaystyle [0, + infty)}$ и ${ displaystyle alpha> 1/2}$. Если

${ Displaystyle int _ {0} ^ {1} { Bigl (} , int _ {x} ^ {1} (1-y) ^ {n-1} { frac {dy} {y} } { Bigr)} q (tx) , dx leq t ^ { alpha -1} { text {для всех}} t in [0, + infty),}$

тогда

${ displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} q (t) log { Bigl (} 1 + { frac {1} {t ^ {2 alpha}}} { Bigr)} , dt leq pi alpha prod _ {k = 1} ^ {n-1} { Bigl (} 1 + { frac { alpha} {k}} { Bigr)} = { frac { pi} { mathrm {B} ( alpha, n)}}.}$

Рекомендации