WikiDer > Теорема Кирсбрауна

Kirszbraun theorem

В математикав частности реальный анализ и функциональный анализ, то Теорема Кирсбрауна заявляет, что если U это подмножество некоторых Гильбертово пространство ЧАС1, и ЧАС2 другое гильбертово пространство, и

ж : U → ЧАС2

это Липшицево-непрерывный map, то существует липшицево отображение

F: ЧАС1 → ЧАС2

что расширяет ж и имеет ту же константу Липшица, что и ж.

Обратите внимание, что этот результат, в частности, относится к Евклидовы пространства Eп и Eм, и именно в такой форме Кирсбраун первоначально сформулировал и доказал теорему.[1] Версию для гильбертовых пространств можно найти, например, в (Schwartz 1969, стр. 21).[2] Если ЧАС1 это отделяемое пространство (в частности, если это евклидово пространство) результат верен в Теория множеств Цермело – Френкеля; для полностью общего случая, по-видимому, требуется некоторая форма аксиомы выбора; то Теорема о булевом простом идеале как известно, достаточно.[3]

Доказательство теоремы использует геометрические особенности гильбертовых пространств; соответствующее заявление для Банаховы пространства неверно вообще, даже для конечномерных банаховых пространств. Например, можно построить контрпримеры, где домен является подмножеством рп с максимальная норма и рм несет евклидову норму.[4] В более общем смысле теорема неверна для оснащен любым норма () (Шварц, 1969, с. 20).[2]

Для р-значная функция, которую предоставляет расширение где постоянная Липшица f на U.

История

Теорема была доказана Моджеш Давид Киршбраун, а позже упрекал Фредерик Валентайн,[5] кто первым доказал это для евклидовой плоскости.[6] Иногда эту теорему еще называют Теорема Киршбрауна – Валентина.

Рекомендации

  1. ^ Киршбраун, М. Д. (1934). "Uber die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen". Фонд. Математика. 22: 77–108.
  2. ^ а б Шварц, Дж. Т. (1969). Нелинейный функциональный анализ. Нью-Йорк: Гордон и наука о нарушениях.
  3. ^ Фремлин, Д. Х. (2011). "Теорема Киршбрауна" (PDF). Препринт.
  4. ^ Федерер, Х. (1969). Геометрическая теория меры. Берлин: Springer. п.202.
  5. ^ Валентин, Ф.А. (1945). «Сохраняющее условие Липшица расширение для векторной функции». Американский журнал математики. 67 (1): 83–93. Дои:10.2307/2371917.
  6. ^ Валентин, Ф.А. (1943). «О продолжении вектор-функции с сохранением условия Липшица». Бюллетень Американского математического общества. 49: 100–108. Дои:10.1090 / с0002-9904-1943-07859-7. Г-Н 0008251.

внешняя ссылка