WikiDer > Кобаяши метрика

Kobayashi metric

В математика и особенно сложная геометрия, то Кобаяши метрика это псевдометрический неразрывно связан с любым комплексное многообразие. Он был представлен Шошичи Кобаяси в 1967 г. Кобаяши гиперболический Многообразия - важный класс комплексных многообразий, определяемый тем свойством, что псевдометрика Кобаяши является метрикой. Гиперболичность Кобаяши комплексного многообразия Икс означает, что каждый голоморфное отображение от сложной линии C к Икс постоянно.

Определение

Истоки концепции лежат в Лемма Шварца в комплексный анализ. А именно, если ж это голоморфная функция на открыть единичный диск D в комплексных числах C такой, что ж(0) = 0 и |ж(z) | <1 для всех z в D, то производная ж '(0) имеет абсолютное значение не более 1. Вообще говоря, для любого голоморфного отображения ж из D самому себе (не обязательно отправляя 0 в 0), существует более сложная верхняя оценка производной ж в любой момент D. Однако оценка имеет простую формулировку в терминах Метрика Пуанкаре, который является полный Риманова метрика на D с кривизна −1 (изометрично гиперболическая плоскость). А именно: каждая голоморфная карта из D к себе убывает на расстоянии относительно метрики Пуанкаре на D.

Это начало прочной связи между комплексным анализом и геометрией отрицательной кривизны. Для любого сложное пространство Икс (например, комплексное многообразие), Кобаяши псевдометрический dИкс определяется как наибольшая псевдометрия на Икс такой, что

,

для всех голоморфных отображений ж с единичного диска D к Икс, куда обозначает расстояние в метрике Пуанкаре на D.[1] В некотором смысле эта формула обобщает лемму Шварца на все комплексные пространства; но это может быть бессмысленным в том смысле, что псевдометрические данные Кобаяши dИкс может быть тождественно нулевым. Например, он тождественно равен нулю, когда Икс сложная линия C. (Это происходит потому, что C содержит сколь угодно большие диски, образы голоморфных отображений жа: DC данный ж(z) = az для сколь угодно больших положительных чисел а.)

Сложное пространство Икс как говорят Кобаяши гиперболический если псевдометрический Кобаяши dИкс метрика, а это означает, что dИкс(Икс,у)> 0 для всех Иксу в Икс. Неформально это означает, что существует реальная оценка размера дисков, голоморфно отображающихся в Икс. Таким образом, лемма Шварца утверждает, что единичный круг D является гиперболическим Кобаяши, а точнее, метрика Кобаяши на D - в точности метрика Пуанкаре. Теория становится более интересной по мере нахождения большего количества примеров гиперболических многообразий Кобаяши. (Для гиперболического многообразия Кобаяши Икс, метрика Кобаяши - это метрика, внутренне определяемая сложной структурой Икс; совсем не ясно, должно ли это когда-либо случиться. Вещественное многообразие положительной размерности никогда не имеет внутренней метрики в этом смысле, потому что ее группа диффеоморфизмов слишком велик для этого.)

Примеры

  1. Каждое голоморфное отображение ж: ИксY комплексных пространств убывает по расстоянию относительно псевдометрики Кобаяши Икс и Y. Отсюда следует, что если две точки п и q в сложном пространстве Y можно связать цепочкой голоморфных отображений CY, тогда dY(п,q) = 0, используя dC тождественно нулю. Это дает много примеров комплексных многообразий, для которых псевдометрия Кобаяши тождественно равна нулю: сложная проективная линия CP1 или в более общем смысле сложное проективное пространство CPп, C- {0} (с помощью экспоненциальная функция CC- {0}), эллиптическая кривая, или в более общем смысле компактный комплексный тор.
  2. Гиперболичность Кобаяси сохраняется при переходе к открытые подмножества или чтобы закрыто комплексные подпространства. Отсюда следует, например, что любая ограниченная домен в Cп гиперболический.
  3. Комплексное пространство гиперболично по Кобаяси тогда и только тогда, когда его универсальное перекрытие является гиперболическим Кобаяши.[2] Это дает много примеров гиперболических комплексных кривых, поскольку теорема униформизации показывает, что наиболее сложные кривые (также называемые Римановы поверхности) имеют универсальное покрытие, изоморфное диску D. В частности, каждая компактная комплексная кривая род по крайней мере 2 является гиперболическим, как и дополнение 2 или более точек в C.

Основные результаты

Для гиперболического пространства Кобаяши Икс, каждое голоморфное отображение CИкс постоянна благодаря свойству уменьшения расстояния псевдометрии Кобаяши. Часто это наиболее важное последствие гиперболичности. Например, тот факт, что C минус 2 балла гиперболический означает Теорема Пикарда что образ любого непостоянного вся функция CC пропускает не более одной точки C. Теория Неванлинны является более количественным потомком теоремы Пикара.

Теорема Броуди говорит, что компактный сложное пространство Икс является гиперболическим по Кобаяши тогда и только тогда, когда каждое голоморфное отображение CИкс постоянно.[3] Приложение состоит в том, что гиперболичность является открытым условием (в евклидовой топологии) для семейств компактных комплексных пространств.[4] Марк Грин использовал аргумент Броуди для характеристики гиперболичности замкнутых сложных подпространств Икс компактного комплексного тора: Икс гиперболичен тогда и только тогда, когда он не содержит трансляций подтора положительной размерности.[5]

Если комплексное многообразие Икс имеет Эрмитова метрика с голоморфная секционная кривизна ограниченный сверху отрицательной константой, то Икс является гиперболическим Кобаяши.[6] В измерении 1 это называется Альфорс–Лемма Шварца.

Гипотеза Грина – Гриффитса – Лэнга.

Приведенные выше результаты дают полное описание того, какие комплексные многообразия являются гиперболическими Кобаяши в комплексной размерности 1. В более высоких измерениях картина менее ясна. Центральная открытая проблема - это Зеленый-ГриффитсLang гипотеза: если Икс это сложный проективное разнообразие из общий тип, то должно быть замкнутое алгебраическое подмножество Y не равно Икс такое, что любое непостоянное голоморфное отображение CИкс карты в Y.[7]

Клеменс и Voisin показал, что для п минимум 2, очень общий гиперповерхность Икс в CPп+1 степени d минимум 2п+1 обладает тем свойством, что каждое замкнутое подмногообразие в Икс общего типа.[8] («Очень общий» означает, что это свойство выполняется для всех гиперповерхностей степени d вне счетный объединение алгебраических подмножеств меньшей размерности проективного пространства всех таких гиперповерхностей.) В результате из гипотезы Грина – Гриффитса – Лэнга следует, что очень общая гиперповерхность степени не менее 2п+1 - гиперболический Кобаяши. Обратите внимание, что нельзя ожидать всего гладкий гиперповерхности данной степени должны быть гиперболическими, например, потому что некоторые гиперповерхности содержат линии (изоморфные CP1). Такие примеры показывают необходимость подмножества Y в гипотезе Грина – Гриффитса – Лэнга.

Гипотеза о гиперболичности известна для гиперповерхностей достаточно высокой степени благодаря ряду достижений автора. Сиу, Демилли и другие, используя технику струя дифференциалы. Например, Диверио, Меркер и Руссо показали, что общая гиперповерхность в CPп+1 степени не менее 2п5 удовлетворяет гипотезе Грина-Гриффитса-Лэнга.[9] («Общее» означает, что это верно для всех гиперповерхностей данной степени вне конечный объединение алгебраических подмножеств меньшей размерности проективного пространства всех таких гиперповерхностей.) В 2016 году Бротбек [10] дал доказательство гипотезы Кобаяши о гиперболичности общих гиперповерхностей высокой степени, основанное на использовании дифференциальных уравнений Вронски; Я. Денг и Демайли затем получили явные степени в произвольной размерности, например [(en)2n + 2/3] последним.[11] Лучшие границы степени известны в малых размерностях.

McQuillan доказал гипотезу Грина – Гриффитса – Лэнга для любой комплексной проективной поверхности общего типа, у которой Числа Черна удовлетворить c12 > c2.[12] Для произвольной разновидности Икс общего типа, Демайли показал, что всякое голоморфное отображение CИкс удовлетворяет некоторые (на самом деле многие) алгебраические дифференциальные уравнения.[13]

В противоположном направлении Кобаяши предположил, что псевдометрия Кобаяши тождественно равна нулю для Многообразия Калаби – Яу.. Это верно в случае K3 поверхности, используя то, что каждая проективная поверхность K3 покрывается семейством эллиптических кривых.[14] В более общем плане Кампана выдвинул точную гипотезу о том, какие комплексные проективные многообразия Икс имеют псевдометрию Кобаяши, равную нулю. А именно, это должно быть эквивалентно Икс существование специальный в том смысле, что Икс не имеет рационального расслоения над положительно-мерным орбифолд общего типа.[15]

Аналогия с теорией чисел

Для проективного многообразия Икс, изучение голоморфных отображений CИкс имеет некоторую аналогию с изучением рациональные точки из Икс, центральная тема теория чисел. Есть несколько предположений о связи между этими двумя предметами. В частности, пусть Икс - проективное многообразие над числовое поле k. Исправьте вложение k в C. Затем Ланг предположил, что комплексное многообразие Икс(C) является гиперболическим по Кобаяси тогда и только тогда, когда Икс имеет только конечное количество F-рациональные точки для любого конечного поля расширений F из k. Это согласуется с известными результатами по рациональным вопросам, в частности Теорема Фальтингса на подмногообразиях абелевы разновидности.

Точнее, пусть Икс - проективное многообразие общего типа над числовым полем k. Пусть исключительный набор Y быть Зариски закрытие объединения образов всех непостоянных голоморфных отображений CИкс. Согласно гипотезе Грина – Гриффитса – Лэнга, Y не должно быть равно Икс. В сильная гипотеза Лэнга предсказывает, что Y определяется над k и это ИксY имеет только конечное количество F-рациональные точки для любого конечного поля расширений F из k.[16]

В том же духе для проективного многообразия Икс над числовым полем kКампана предположил, что псевдометрия Кобаяши Икс(C) тождественно нулю тогда и только тогда, когда Икс имеет потенциально плотный рациональные точки, означающие, что существует конечное поле расширения F из k так что набор Икс(F) из F-рациональные точки плотны по Зарискому в Икс.[17]

Варианты

В Метрика Каратеодори - это еще одна внутренняя псевдометрия на комплексных многообразиях, основанная на голоморфных отображениях в единичный диск, а не в единичный диск. Бесконечно малая псевдометрия Кобаяши - это Псевдометрический финслер чья ассоциированная функция расстояния является псевдометрикой Кобаяши, как определено выше.[18] Форма псевдообъема Кобаяси – Эйзенмана является внутренним мера на комплексе п-кратный, основанный на голоморфных отображениях из п-размерный полидиск к Икс. Это понимается лучше, чем псевдометрический Кобаяши. В частности, всякое проективное многообразие общего типа является мерно-гиперболический, что означает, что форма псевдообъема Кобаяши – Эйзенмана положительна вне алгебраического подмножества более низкой размерности.[19]

Аналогичная псевдометрика рассмотрена для плоских аффинный и проективные структуры, а также для более общих проективные связи и конформные связи.[20]

Примечания

  1. ^ Кобаяши (2005), разделы IV.1 и VII.2.
  2. ^ Кобаяши (2005), Предложение IV.1.6.
  3. ^ Кобаяши (1998), теорема 3.6.3.
  4. ^ Кобаяши (1998), теорема 3.11.1,
  5. ^ Кобаяши (1998), теорема 3.7.12.
  6. ^ Кобаяши (2005), раздел III.2.
  7. ^ Демайли (1997), гипотеза 3.7.
  8. ^ Вуазен (1996).
  9. ^ Диверио, Меркер и Руссо (2010).
  10. ^ Бротбек (2017)
  11. ^ Демиллы (2018)
  12. ^ Маккуиллан (1998).
  13. ^ Демайли (2011), теорема 0.5.
  14. ^ Вуазен (2003), лемма 1.51.
  15. ^ Кампана (2004), гипотеза 9.2,
  16. ^ Ланг (1986), гипотеза 5.8.
  17. ^ Кампана (2004), гипотеза 9.20.
  18. ^ Кобаяши (1998), теорема 3.5.31.
  19. ^ Кобаяши (1998), раздел 7.2.
  20. ^ Кобаяши (1977).

Рекомендации