WikiDer > Метрика Леви – Прохорова

В математика, то Метрика Леви – Прохорова (иногда известный как Метрика Прохорова) это метрика (то есть определение расстояния) на наборе вероятностные меры на данном метрическое пространство. Он назван в честь французского математика. Поль Леви и советский математик Юрий Васильевич Прохоров; Прохоров ввел его в 1956 г. как обобщение более раннего Метрика Леви.

Определение

Позволять ${displaystyle (M, d)}$ быть метрическое пространство с этими Борелевская сигма-алгебра ${displaystyle {mathcal {B}} (M)}$. Позволять ${displaystyle {mathcal {P}} (M)}$ обозначают совокупность всех вероятностные меры на измеримое пространство ${displaystyle (M, {mathcal {B}} (M))}$.

Для подмножество ${displaystyle Asubseteq M}$определить ε-окрестность из ${displaystyle A}$ к

${displaystyle A ^ {varepsilon}: = {pin M ~ | ~ существует qin A, d (p, q)$

куда ${displaystyle B_ {varepsilon} (p)}$ это открытый мяч радиуса ${displaystyle varepsilon}$ сосредоточен на ${displaystyle p}$.

В Метрика Леви – Прохорова ${displaystyle pi: {mathcal {P}} (M) ^ {2} o [0, + infty)}$ определяется путем установки расстояния между двумя вероятностными мерами ${displaystyle mu}$ и ${displaystyle u}$ быть

${displaystyle pi (mu, u): = inf left {varepsilon> 0 ~ | ~ mu (A) leq u (A ^ {varepsilon}) + varepsilon {ext {и}} u (A) leq mu (A ^ { varepsilon}) + varepsilon {ext {для всех}} Ain {mathcal {B}} (M) ight}.}$

Для вероятностных мер ясно ${displaystyle pi (mu, u) leq 1}$.

Некоторые авторы опускают одно из двух неравенств или выбирают только открыто или же закрыто ${displaystyle A}$; одно неравенство влечет за собой другое, и ${displaystyle ({ar {A}}) ^ {varepsilon} = A ^ {varepsilon}}$, но ограничение открытыми наборами может изменить определенную таким образом метрику (если ${displaystyle M}$ не является Польский).

Характеристики

• Если ${displaystyle (M, d)}$ является отделяемый, сходимость мер в метрике Леви – Прохорова равносильна слабая сходимость мер. Таким образом, ${displaystyle pi}$ это метризация топологии слабой сходимости на ${displaystyle {mathcal {P}} (M)}$.
• Метрическое пространство ${displaystyle left ({mathcal {P}} (M), pi ight)}$ является отделяемый если и только если ${displaystyle (M, d)}$ отделимо.
• Если ${displaystyle left ({mathcal {P}} (M), pi ight)}$ является полный тогда ${displaystyle (M, d)}$ завершено. Если все меры в ${displaystyle {mathcal {P}} (M)}$ иметь отделимый поддерживать, то имеет место и обратная импликация: если ${displaystyle (M, d)}$ завершено тогда ${displaystyle left ({mathcal {P}} (M), pi ight)}$ завершено. В частности, это так, если ${displaystyle (M, d)}$ отделима.
• Если ${displaystyle (M, d)}$ отделимо и полно, подмножество ${displaystyle {mathcal {K}} substeq {mathcal {P}} (M)}$ является относительно компактный если и только если это ${displaystyle pi}$- закрытие ${displaystyle pi}$-компактный.

Смотрите также

• Метрика Леви
• Теорема Прохорова
• Жесткость мер
• слабая сходимость мер
• Метрика Вассерштейна
• Радоновое расстояние

Рекомендации

• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер.. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534.
• Золотарев, В. (2001) [1994], «Метрика Леви – Прохорова», Энциклопедия математики, EMS Press