WikiDer > Последовательность ленивых кейтерингов - Википедия

Блин разрезать на семь частей тремя прямыми надрезами.

В ленивый провизор, более формально известный как центральные многоугольные числа, описывает максимальное количество штук диск (а блин или же пицца обычно используется для описания ситуации), которая может быть сделана с заданным количеством прямых разрезов. Например, из трех надрезов на блинчике получится шесть кусков, если все надрезы встречаются в общей точке внутри круга, но до семи, если они не совпадают. Математически эту задачу можно формализовать как подсчет клеток в расположение линий; для обобщений в более высокие измерения, видеть расположение гиперплоскостей.

Аналогом этой последовательности в трех измерениях является номер торта.^[1]

Формула и последовательность

Максимальное количество п частей, которые могут быть созданы с заданным количеством разрезов п, куда п ≥ 0, задается формулой

${ displaystyle p = { frac {n ^ {2} + n + 2} {2}}.}$

С помощью биномиальные коэффициенты, формулу можно выразить как

${ displaystyle p = 1 + { tbinom {n + 1} {2}} = { tbinom {n} {0}} + { tbinom {n} {1}} + { tbinom {n} {2 }}.}$

Проще говоря, каждое число равно треугольное число плюс 1.

Этот последовательность (последовательность A000124 в OEIS), начиная с п = 0, что приводит к

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

Доказательство

Максимальное количество частей из последовательных разрезов - это числа в последовательности ленивого провизора.

Когда круг разрезан п раз для производства максимального количества деталей, представленных как п = ж(п), то п-й разрез необходимо учитывать; количество штук перед последним разрезом равно ж(п − 1), а количество штук, добавленных последним разрезом, равно п.

Чтобы получить максимальное количество штук, п-я линия разреза должна пересекать все остальные предыдущие линии разреза внутри круга, но не пересекать никакие пересечения предыдущих линий разреза. Таким образом псама строка врезана п − 1 места и в п отрезки линии. Каждый сегмент делит одну часть (п − 1)-разрезать блин на 2 части, добавляя ровно п к количеству штук. В новой строке больше не может быть сегментов, так как она может пересекать каждую предыдущую строку только один раз. Линия разреза всегда может пересекать все предыдущие линии разреза, так как поворот ножа на небольшой угол вокруг точки, которая не является существующим пересечением, будет, если угол достаточно мал, пересекать все предыдущие линии, включая последнюю добавленную.

Таким образом, общее количество штук после п сокращения

${ Displaystyle f (n) = n + f (n-1).}$

Этот отношение повторения можно решить. Если ж(п − 1) расширяется на один член отношение становится

${ Displaystyle f (n) = n + (n-1) + f (n-2).}$

Расширение срока ж(п − 2) может продолжаться до тех пор, пока последний срок не будет сокращен до ж(0), таким образом,

${ Displaystyle f (n) = n + (n-1) + (n-2) + cdots + 1 + f (0).}$

С ж(0) = 1, поскольку перед выполнением любых разрезов остается одна деталь, ее можно переписать как

${ displaystyle f (n) = 1 + (1 + 2 + 3 + cdots + n).}$

Это можно упростить, используя формулу для суммы арифметическая прогрессия:

${ displaystyle f (n) = 1 + { frac {n (n + 1)} {2}} = { frac {n ^ {2} + n + 2} {2}}.}$

Смотрите также

• Треугольник Флойда
• Деление круга на области - куда п это количество сторон вписанного многоугольника

Примечания

Рекомендации

• Мур, Т. Л. (1991), "Использование формулы Эйлера для решения задач разделения плоскостей", Математический журнал колледжа, Математическая ассоциация Америки, 22 (2): 125–130, Дои:10.2307/2686448, JSTOR 2686448.

• Штайнер, Дж. (1826), «Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes (« Несколько заявлений о разделении плоскости и пространства »)», J. Reine Angew. Математика., 1: 349–364.

• Ветцель, Дж. Э. (1978), «О делении самолета на линии» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 85 (8): 647–656, Дои:10.2307/2320333, JSTOR 2320333, заархивировано из оригинал (PDF) на 2011-07-21, получено 2008-12-15.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Деление круга по линиям». MathWorld.