WikiDer > Гипотеза Леопольдта - Википедия

В алгебраическая теория чисел, Гипотеза Леопольдта, представлен Х.-В. Леопольдт (1962, 1975), утверждает, что p-адический регулятор числовое поле не пропадает. P-адический регулятор является аналогом обычного регулятор определяется с использованием p-адических логарифмов вместо обычных логарифмов, введенных Х.-В. Леопольдт (1962).

Леопольдт предложил определение p-адический регулятор р_п прикреплен к K и простое число п. Определение р_п использует соответствующий определитель с записями p-адический логарифм генераторной установки агрегатов K (до кручения), на манер обычного регулятора. Гипотеза, которая в общем K открыт с 2009 г.^{[Обновить]}, то получается утверждение, что р_п не равно нулю.

Формулировка

Позволять K быть числовое поле и для каждого основной п из K над некоторым фиксированным рациональным простым числом п, позволять U_п обозначим локальные единицы в п и разреши U_1,п обозначим подгруппу главных единиц в U_п. Набор

${ displaystyle U_ {1} = prod _ {P | p} U_ {1, P}.}$

Тогда пусть E₁ обозначают набор глобальных единиц ε эта карта U₁ через диагональное вложение глобальных единиц вE.

С ${ displaystyle E_ {1}}$ является конечныминдекс подгруппа глобальных единиц, это абелева группа ранга ${ displaystyle r_ {1} + r_ {2} -1}$, куда ${ displaystyle r_ {1}}$ - количество реальных вложений ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle r_ {2}}$ количество пар сложных вложений. Гипотеза Леопольдта заявляет, что ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$-модуль ранга закрытия ${ displaystyle E_ {1}}$ по диагонали в ${ displaystyle U_ {1}}$ это также ${ displaystyle r_ {1} + r_ {2} -1.}$

Гипотеза Леопольдта известна в частном случае, когда ${ displaystyle K}$ является абелево расширение из ${ displaystyle mathbb {Q}}$ или абелево расширение воображаемого поле квадратичных чисел: Топор (1965) свел абелев случай к p-адической версии Теорема Бейкера, что было вскоре доказано Брюмер (1967).Михэилеску (2009, 2011) анонсировал доказательство гипотезы Леопольдта для всех CM-расширений ${ displaystyle mathbb {Q}}$.

Colmez (1988) выразил остаток п-адический Дзета-функция Дедекинда из полностью реальное поле в s = 1 в терминах п-адический регулятор. Как следствие, гипотеза Леопольдта для этих полей эквивалентна их п-адические дзета-функции Дедекинда, имеющие простой полюс в s = 1.

Рекомендации

• Топор, Джеймс (1965), «О единицах поля алгебраических чисел», Иллинойсский журнал математики, 9: 584–589, ISSN 0019-2082, МИСТЕР 0181630, Zbl 0132.28303
• Брюмер, Арманд (1967), "О единицах полей алгебраических чисел", Математика. Журнал чистой и прикладной математики, 14 (2): 121–124, Дои:10.1112 / S0025579300003703, ISSN 0025-5793, МИСТЕР 0220694, Zbl 0171.01105
• Колмез, Пьер (1988), "Résidu en s = 1 des fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae, 91 (2): 371–389, Bibcode:1988InMat..91..371C, Дои:10.1007 / BF01389373, ISSN 0020-9910, МИСТЕР 0922806, Zbl 0651.12010
• Колстер, М. (2001) [1994], «Гипотеза Леопольдта», Энциклопедия математики, EMS Press
• Леопольдт, Генрих-Вольфганг (1962), "Zur Arithmetik in abelschen Zahlkörpern", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 209: 54–71, ISSN 0075-4102, МИСТЕР 0139602, Zbl 0204.07101
• Леопольдт, Х. (1975), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte II", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1975 (274/275): 224–239, Дои:10.1515 / crll.1975.274-275.224, Zbl 0309.12009.
• Михэилеску, Преда (2009), В Т и Т * компоненты Λ-модулей и гипотеза Леопольдта, arXiv:0905.1274, Bibcode:2009arXiv0905.1274M
• Михэилеску, Преда (2011), Гипотеза Леопольдта для полей CM, arXiv:1105.4544, Bibcode:2011arXiv1105.4544M
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Второе изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-37888-4, МИСТЕР 2392026, Zbl 1136.11001
• Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в циклотомические поля (Второе изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-94762-0, Zbl 0966.11047.