WikiDer > Леви-Чивита параллелограммоид

Параллелограмоид Леви-Чивиты

в математический поле дифференциальная геометрия, то Леви-Чивита параллелограммоид это четырехугольник в искривленное пространство конструкция которого обобщает конструкцию параллелограмм в Евклидова плоскость. Он назван в честь его первооткрывателя, Туллио Леви-Чивита. Как параллелограмм, две противоположные стороны AA' и BB′ Параллелограмоида параллельны (через параллельный транспорт вдоль стороны AB) и одинаковой длины, но четвертая сторона А′B'Обычно не будет параллельна стороне AB, хотя будет прям (а геодезический).

Строительство

Параллелограмм в Евклидова геометрия можно построить следующим образом:

• Начните с отрезка прямой AB и еще один отрезок прямой AA′.
• Сдвиньте сегмент AA' вдоль AB до конечной точки B, сохраняя угол с AB постоянным и оставаясь в той же плоскости, что и точки А, А', и B.
• Обозначьте конечную точку полученного сегмента B′ Так что отрезок BB′.
• Проведите прямую линию А′B′.

В искривленном пространстве, например Риманово многообразие или, в более общем смысле, любой коллектор, оборудованный аффинная связьпонятие "прямая линия" обобщается на понятие геодезический. В подходящем район (например, мяч в нормальная система координат) любые две точки можно соединить геодезической. Идея скольжения одной прямой по другой уступает место более общему понятию параллельный транспорт. Таким образом, если предположить, что многообразие полный, или что строительство происходит в подходящей окрестности, шаги для создания параллелограмма Леви-Чивиты следующие:

• Начните с геодезической AB и еще геодезический AA′. Предполагается, что эти геодезические параметризованы их длина дуги в случае риманова многообразия, или нести выбор аффинный параметр в общем случае аффинной связности.
• "Горка" (параллельный транспорт) касательный вектор из AA' из А к B.
• Результирующий касательный вектор в точке B генерирует геодезическую через экспоненциальная карта. Обозначьте конечную точку этой геодезической B′, А сама геодезическая BB′.
• Соедините точки А' и B′ По геодезической А′B′.

Количественная оценка отличия от параллелограмма

Длина этой последней геодезической, построенной, соединяя оставшиеся точки А′B'Может в целом отличаться от длины основания AB. Эта разница измеряется Тензор кривизны Римана. Чтобы точно указать отношения, пусть AA′ - экспонента касательного вектора Икс в А, и AB экспонента касательного вектора Y в А. потом

${displaystyle | A'B '| ^ {2} = | AB | ^ {2} + {frac {8} {3}} langle R (X, Y) X, Yangle + {ext {термины высшего порядка}}}$

где члены более высокого порядка по длине сторон параллелограмма опущены.

Дискретное приближение

Две ступени Лестница Шильда. Сегменты А₁Икс₁ и А₂Икс₂ являются приближением к первому порядку параллельный транспорт из А₀Икс₀ по кривой.

Параллельный транспорт можно дискретно аппроксимировать Лестница Шильда, который аппроксимирует параллелограммы Леви-Чивиты приближенными параллелограммами.

Рекомендации

• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств, Math Sci Press, Массачусетс