WikiDer > Касательный вектор

Для более общего, но гораздо более технического подхода к касательным векторам см. касательное пространство.

В математика, а касательный вектор это вектор то есть касательная к изгиб или поверхность в заданной точке. Касательные векторы описаны в дифференциальная геометрия кривых в контексте кривых в р^п. В более общем смысле, касательные векторы являются элементами касательное пространство из дифференцируемое многообразие. Касательные векторы также можно описать в терминах микробы. Формально касательный вектор в точке ${ displaystyle x}$ линейный происхождение алгебры, определяемой множеством ростков в ${ displaystyle x}$.

Мотивация

Прежде чем перейти к общему определению касательного вектора, обсудим его использование в исчисление и это тензор характеристики.

Исчисление

Позволять ${ Displaystyle mathbf {г} (т)}$ быть параметрическим плавная кривая. Касательный вектор задается формулой ${ Displaystyle mathbf {г} ^ { prime} (т)}$, где мы использовали штрих вместо обычной точки для обозначения дифференцирования по параметру т.^[1] Единичный касательный вектор задается формулой

${ displaystyle mathbf {T} (t) = { frac { mathbf {r} ^ { prime} (t)} {| mathbf {r} ^ { prime} (t) |}} , .}$

пример

Учитывая кривую

${ displaystyle mathbf {r} (t) = {(1 + t ^ {2}, e ^ {2t}, cos {t}) | t in mathbb {R} }}$

в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$, единичный касательный вектор в точке ${ displaystyle t = 0}$ дан кем-то

${ Displaystyle mathbf {T} (0) = { frac { mathbf {r} ^ { prime} (0)} { | mathbf {r} ^ { prime} (0) |}} = left. { frac {(2t, 2e ^ {2t}, - sin {t})} { sqrt {4t ^ {2} + 4e ^ {4t} + sin ^ {2} {t }}}} right | _ {t = 0} = (0,1,0) ,.}$

Контравариантность

Если ${ Displaystyle mathbf {г} (т)}$ задается параметрически в п-мерная система координат Икс^я (здесь мы использовали верхние индексы в качестве индекса вместо обычного нижнего индекса) ${ Displaystyle mathbf {г} (т) = (х ^ {1} (т), х ^ {2} (т), ldots, х ^ {п} (т))}$ или

${ Displaystyle mathbf {г} = х ^ {я} = х ^ {я} (т), четырехъядерный а Leq т Leq б ,,}$

то касательное векторное поле ${ displaystyle mathbf {T} = T ^ {i}}$ дан кем-то

${ displaystyle T ^ {i} = { frac {dx ^ {i}} {dt}} ,.}$

При смене координат

${ displaystyle u ^ {i} = u ^ {i} (x ^ {1}, x ^ {2}, ldots, x ^ {n}), quad 1 leq i leq n}$

касательный вектор ${ displaystyle { bar { mathbf {T}}} = { bar {T}} ^ {i}}$ в ты^я-система координат задается

${ displaystyle { bar {T}} ^ {i} = { frac {du ^ {i}} {dt}} = { frac { partial u ^ {i}} { partial x ^ {s} }} { frac {dx ^ {s}} {dt}} = T ^ {s} { frac { partial u ^ {i}} { partial x ^ {s}}}}$

где мы использовали Соглашение о суммировании Эйнштейна. Следовательно, касательный вектор гладкой кривой преобразуется как контравариантный тензор первого порядка при изменении координат.^[2]

Определение

Позволять ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ - дифференцируемая функция и пусть ${ displaystyle mathbf {v}}$ быть вектором в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Определим производную по направлению в ${ displaystyle mathbf {v}}$ направление в точке ${ displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^ {n}}$ к

${ Displaystyle D _ { mathbf {v}} f ( mathbf {x}) = left. { frac {d} {dt}} f ( mathbf {x} + t mathbf {v}) right | _ {t = 0} = sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} { frac { partial f} { partial x_ {i}}} ( mathbf {x}) , .}$

Касательный вектор в точке ${ displaystyle mathbf {x}}$ затем можно определить^[3] так как

${ Displaystyle mathbf {v} (е ( mathbf {x})) Equiv (D _ { mathbf {v}} (f)) ( mathbf {x}) ,.}$

Характеристики

Позволять ${ displaystyle f, g: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ - дифференцируемые функции, пусть ${ Displaystyle mathbf {v}, mathbf {w}}$ быть касательными векторами в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ в ${ displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^ {n}}$, и разреши ${ displaystyle a, b in mathbb {R}}$. потом

1. ${ displaystyle (a mathbf {v} + b mathbf {w}) (f) = a mathbf {v} (f) + b mathbf {w} (f)}$
2. ${ Displaystyle mathbf {v} (af + bg) = a mathbf {v} (f) + b mathbf {v} (g)}$
3. ${ Displaystyle mathbf {v} (fg) = f ( mathbf {x}) mathbf {v} (g) + g ( mathbf {x}) mathbf {v} (f) ,.}$.

Касательный вектор на многообразиях

Позволять ${ displaystyle M}$ - дифференцируемое многообразие и пусть ${ Displaystyle А (М)}$ - алгебра вещественнозначных дифференцируемых функций на ${ displaystyle M}$. Тогда касательный вектор к ${ displaystyle M}$ в какой-то момент ${ displaystyle x}$ в многообразии задается происхождение ${ displaystyle D_ {v}: A (M) rightarrow mathbb {R}}$ который должен быть линейным, т. е. для любого ${ Displaystyle е, г в А (М)}$ и ${ displaystyle a, b in mathbb {R}}$ у нас есть

${ Displaystyle D_ {v} (af + bg) = aD_ {v} (f) + bD_ {v} (g) ,.}$

Обратите внимание, что вывод по определению будет иметь свойство Лейбница

${ Displaystyle D_ {v} (е cdot g) (x) = D_ {v} (f) (x) cdot g (x) + f (x) cdot D_ {v} (g) (x) ,.}$

Рекомендации

Библиография

• Грей, Альфред (1993), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, Бока Ратон: CRC Press.
• Стюарт, Джеймс (2001), Исчисление: концепции и контексты, Австралия: Томсон / Брукс / Коул.
• Кей, Дэвид (1988), Очерк теории и проблем тензорного исчисления Шаумсом, Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.