WikiDer > Список формул в римановой геометрии

List of formulas in Riemannian geometry

Это список формулы встречается в [gamma ijk = gamma jik частично на отношениях симметрии символов Кристоффеля первого рода. [Риманова геометрия]].

Символы Кристоффеля, ковариантная производная

В гладком карта координат, то Символы Кристоффеля первого рода даются

и символы Кристоффеля второго типа

Здесь это обратная матрица к метрическому тензору . Другими словами,

и поэтому

это размер многообразие.

Символы Кристоффеля удовлетворяют соотношениям симметрии

или, соответственно, ,


второй из которых эквивалентен непринужденности кручения Леви-Чивита связь.

Договорные отношения на символах Кристоффеля даны

и

где |грамм| абсолютное значение детерминант метрического тензора . Они полезны при работе с расходимостями и лапласианами (см. Ниже).

В ковариантная производная из векторное поле с компонентами дан кем-то:

и аналогично ковариантная производная -тензорное поле с компонентами дан кем-то:

Для -тензорное поле с компонентами это становится

то же самое для тензоров с большим количеством индексов.

Ковариантная производная функции (скаляр) это просто его обычный дифференциал:

Поскольку Леви-Чивита связь метрично-совместима, ковариантные производные метрик обращаются в нуль,

а также ковариантные производные определителя метрики (и элемента объема)

В геодезический начиная с начала координат с начальной скоростью имеет расширение Тейлора в диаграмме:

Тензоры кривизны

Определения

(3,1) Тензор кривизны Римана

Кривизна Риччи

Скалярная кривизна

Бесследный тензор Риччи

(4,0) Тензор кривизны Римана

(4,0) Тензор Вейля

Тензор Эйнштейна

Идентичности

Видеть Доказательства с использованием символов Кристоффеля для некоторых доказательств

Основные симметрии

Тензор Вейля имеет те же основные симметрии, что и тензор Римана, но его «аналог» тензора Риччи равен нулю:

Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и бесследовый тензор Риччи являются симметричными 2-тензорами:

Первая личность Бьянки

Вторая идентичность Бьянки

Контрактная вторая личность Бьянки

Вторая идентичность Бьянки с двойным сокращением

Эквивалентно:

Личность Риччи

Если является векторным полем, то

что и есть определение тензора Римана. Если является одной формой, то

В более общем смысле, если является (0, k) -тензорным полем, то

Замечания

Классический результат говорит, что если и только если локально конформно плоский, т.е. тогда и только тогда, когда можно покрыть гладкими координатными картами, относительно которых метрический тензор имеет вид для какой-то функции на графике.

Градиент, дивергенция, оператор Лапласа – Бельтрами

В градиент функции получается повышением индекса дифференциала , компоненты которого определяются по формуле:

В расхождение векторного поля с компонентами является

В Оператор Лапласа – Бельтрами действующий на функцию дается дивергенцией градиента:

Дивергенция антисимметричный тензор поле типа упрощает до

Гессен карты дан кем-то

Кулькарни – Номидзу

В Кулькарни – Номидзу является важным инструментом для построения новых тензоров из существующих тензоров на римановом многообразии. Позволять и - симметричные ковариантные 2-тензоры. В координатах,

Затем мы можем умножить их в некотором смысле, чтобы получить новый ковариантный 4-тензор, который часто обозначают . Определяющая формула:

Ясно, что продукт удовлетворяет

В инерциальной системе отсчета

Ортонормированный инерциальная система отсчета является координатной картой, в которой в начале координат выполняются соотношения и (но они могут не удерживаться в других точках кадра). Эти координаты также называются нормальными координатами. В такой системе координат выражение для нескольких операторов проще. Обратите внимание, что приведенные ниже формулы действительны. только в начале кадра.

Конформное изменение

Позволять - риманова или псевдориманова метрика на гладком многообразии , и гладкая вещественнозначная функция на . потом

также является римановой метрикой на . Мы говорим что (поточечно) конформно . Очевидно, конформность метрик - это отношение эквивалентности. Вот несколько формул для конформных изменений тензоров, связанных с метрикой. (Значения, отмеченные тильдой, будут связаны с , а те, у кого такие отметки не отмечены, будут связаны с .)

Леви-Чивита связь

(4,0) Тензор кривизны Римана

  • куда

С использованием Кулькарни – Номидзу:

Тензор Риччи

Скалярная кривизна

  • если это можно написать

Бесследный тензор Риччи

(3,1) Кривизна Вейля

  • для любых векторных полей

Форма объема

Оператор Ходжа на p-формах

Кодифференциал на p-формах

Лапласиан по функциям

Лапласиан Ходжа на p-формах

Вторая фундаментальная форма погружения

Предполагать риманова и - дважды дифференцируемое погружение. Напомним, что вторая фундаментальная форма для каждого симметричное билинейное отображение который ценится в -ортогональное линейное подпространство к потом

  • для всех

Здесь обозначает -ортогональная проекция на -ортогональное линейное подпространство к

Средняя кривизна погружения

В той же настройке, что и выше, помните, что средняя кривизна для каждого элемент определяется как -след второй фундаментальной формы. потом

Формулы вариации

Позволять - гладкое многообразие и пусть - однопараметрическое семейство римановых или псевдоримановых метрик. Предположим, что это дифференцируемое семейство в том смысле, что для любой гладкой координатной карты производные существуют и сами по себе настолько различимы, насколько это необходимо для того, чтобы следующие выражения имели смысл. Обозначить как однопараметрическое семейство симметричных 2-тензорных полей.

Главный символ

Вычисленные выше вычисления вариационной формулы определяют главный символ отображения, которое посылает псевдориманову метрику ее тензору Римана, тензору Риччи или скалярной кривизне.

  • Главный символ карты присваивает каждому отображение из пространства симметричных (0,2) -тензоров на в пространство (0,4) -тензоров на данный
  • Главный символ карты присваивает каждому эндоморфизм пространства симметричных 2-тензоров на данный
  • Главный символ карты присваивает каждому элемент сопряженного пространства к векторному пространству симметричных 2-тензоров на к

Смотрите также

Рекомендации

  • Артур Л. Бесс. «Многообразия Эйнштейна». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 10. Springer-Verlag, Berlin, 1987. xii + 510 с. ISBN 3-540-15279-2