Часть серия статей на математическая константа е Характеристики Приложения Определение е люди похожие темы
В математическая константа е настоящий номер . С е иррациональный номер (видеть доказательство того, что е иррационально ), его нельзя представить как частное из двух целые числа , но его можно представить как непрерывная дробь . С помощью исчисление , е бесконечная серия , бесконечный продукт , или другой вид предел последовательности .
В виде непрерывной дроби
Эйлер доказал, что число е простая цепная дробь [1] A003417 OEIS ):
е = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , … , 1 , 2 п , 1 , … ] . {displaystyle e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, ldots, 1,2n, 1, ldots].} Его сходимость можно утроить[требуется разъяснение [нужна цитата разрешив только одно дробное число:
е = [ 1 ; 1 / 2 , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , 60 , 17 , … , 4 ( 4 п − 1 ) , 4 п + 1 , … ] . {displaystyle e = [1; 1 / 2,12,5,28,9,44,13,60,17, ldots, 4 (4n-1), 4n + 1, ldots].} Вот несколько бесконечных обобщенная цепная дробь расширение е преобразование эквивалентности .
е = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + ⋱ = 2 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + ⋱ {displaystyle e = 2 + {cfrac {1} {1+ {cfrac {1} {2+ {cfrac {2} {3+ {cfrac {3} {4+ {cfrac {4} {5 + ddots}}}} }}}}}}} = 2+ {cfrac {2} {2+ {cfrac {3} {3+ {cfrac {4} {4+ {cfrac {5} {5+ {cfrac {6} {6+) точки,}}}}}}}}}}} е = 2 + 1 1 + 2 5 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + ⋱ = 1 + 2 1 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + ⋱ {displaystyle e = 2 + {cfrac {1} {1+ {cfrac {2} {5+ {cfrac {1} {10+ {cfrac {1} {14+ {cfrac {1} {18 + ddots,}} }}}}}}}} = 1+ {cfrac {2} {1+ {cfrac {1} {6+ {cfrac {1} {10+ {cfrac {1} {14+ {cfrac {1} {18) + точки,}}}}}}}}}}} Последнее, эквивалентно [1; 0.5, 12, 5, 28, 9, ...], является частным случаем общей формулы для экспоненциальная функция :
е Икс / у = 1 + 2 Икс 2 у − Икс + Икс 2 6 у + Икс 2 10 у + Икс 2 14 у + Икс 2 18 у + ⋱ {displaystyle e ^ {x / y} = 1 + {cfrac {2x} {2y-x + {cfrac {x ^ {2}} {6y + {cfrac {x ^ {2}} {10y + {cfrac {x ^ {2}} }} {14y + {cfrac {x ^ {2}} {18y + ddots}}}}}}}}}} Домыслы Существуют также гипотезы о непрерывной дроби для е . Например, компьютерная программа, разработанная в Израильский технологический институт придумал:[2]
е = 3 + − 1 4 + − 2 5 + − 3 6 + − 4 7 + ⋱ {displaystyle e = 3 + {cfrac {-1} {4+ {cfrac {-2} {5+ {cfrac {-3} {6+ {cfrac {-4} {7 + ddots,}}}}}} }}} Как бесконечная серия
Число е бесконечная серия :
е Икс = ∑ k = 0 ∞ Икс k k ! {displaystyle e ^ {x} = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {x ^ {k}} {k!}}} Икс .в особый случай куда Икс = 1 или −1, имеем:
е = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! {displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {k!}}} [3] е − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! . {displaystyle e ^ {- 1} = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.} Другие серии включают следующее:
е = [ ∑ k = 0 ∞ 1 − 2 k ( 2 k ) ! ] − 1 {displaystyle e = left [сумма _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1-2k} {(2k)!}} ight] ^ {- 1}} [4] е = 1 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 k ! {displaystyle e = {frac {1} {2}} sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {k + 1} {k!}}} е = 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 ( 2 k + 1 ) ! {displaystyle e = 2sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {k + 1} {(2k + 1)!}}} е = ∑ k = 0 ∞ 3 − 4 k 2 ( 2 k + 1 ) ! {displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {3-4k ^ {2}} {(2k + 1)!}}} е = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k ) 2 + 1 ( 3 k ) ! = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k + 1 ) 2 + 1 ( 3 k + 1 ) ! = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k + 2 ) 2 + 1 ( 3 k + 2 ) ! {displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(3k) ^ {2} +1} {(3k)!}} = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac { (3k + 1) ^ {2} +1} {(3k + 1)!}} = Sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(3k + 2) ^ {2} +1} {( 3к + 2)!}}} е = [ ∑ k = 0 ∞ 4 k + 3 2 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! ] 2 {displaystyle e = left [сумма _ {k = 0} ^ {infty} {frac {4k + 3} {2 ^ {2k + 1}, (2k + 1)!}} ight] ^ {2}} е = ∑ k = 0 ∞ k п B п ( k ! ) {displaystyle e = sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {k ^ {n}} {B_ {n} (k!)}}} B п {displaystyle B_ {n}} п th Номер звонка .Рассмотрение того, как поставить верхние границы на е приводит к этой убывающей серии:
е = 3 − ∑ k = 2 ∞ 1 k ! ( k − 1 ) k = 3 − 1 4 − 1 36 − 1 288 − 1 2400 − 1 21600 − 1 211680 − 1 2257920 − ⋯ {displaystyle e = 3-sum _ {k = 2} ^ {infty} {frac {1} {k! (k-1) k}} = 3- {frac {1} {4}} - {frac {1 } {36}} - {frac {1} {288}} - {frac {1} {2400}} - {frac {1} {21600}} - {frac {1} {211680}} - {frac {1 } {2257920}} - cdots} что дает по крайней мере одну правильную (или округленную) цифру на термин. То есть, если 1 ≤ п , тогда
е < 3 − ∑ k = 2 п 1 k ! ( k − 1 ) k < е + 0.6 ⋅ 10 1 − п . {displaystyle e <3-sum _ {k = 2} ^ {n} {frac {1} {k! (k-1) k}} В более общем смысле, если Икс не находится в {2, 3, 4, 5, ...}, то
е Икс = 2 + Икс 2 − Икс + ∑ k = 2 ∞ − Икс k + 1 k ! ( k − Икс ) ( k + 1 − Икс ) . {displaystyle e ^ {x} = {frac {2 + x} {2-x}} + sum _ {k = 2} ^ {infty} {frac {-x ^ {k + 1}} {k! (kx ) (k + 1-x)}} ,.} Как бесконечный продукт
Число е бесконечный продукт формы, включая Пиппенгер продукт
е = 2 ( 2 1 ) 1 / 2 ( 2 3 4 3 ) 1 / 4 ( 4 5 6 5 6 7 8 7 ) 1 / 8 ⋯ {displaystyle e = 2left ({frac {2} {1}} ight) ^ {1/2} left ({frac {2} {3}}; {frac {4} {3}} ight) ^ {1 / 4} left ({frac {4} {5}}; {frac {6} {5}}; {frac {6} {7}}; {frac {8} {7}} ight) ^ {1/8 } cdots} и продукт Гильеры [5] [6]
е = ( 2 1 ) 1 / 1 ( 2 2 1 ⋅ 3 ) 1 / 2 ( 2 3 ⋅ 4 1 ⋅ 3 3 ) 1 / 3 ( 2 4 ⋅ 4 4 1 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ) 1 / 4 ⋯ , {displaystyle e = left ({frac {2} {1}} ight) ^ {1/1} left ({frac {2 ^ {2}} {1cdot 3}} ight) ^ {1/2} left ({ frac {2 ^ {3} cdot 4} {1cdot 3 ^ {3}}} ight) ^ {1/3} left ({frac {2 ^ {4} cdot 4 ^ {4}} {1cdot 3 ^ {6 } cdot 5}} ight) ^ {1/4} cdots,} где п й фактор - это п корень th продукта
∏ k = 0 п ( k + 1 ) ( − 1 ) k + 1 ( п k ) , {displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n выбрать k}},} а также бесконечное произведение
е = 2 ⋅ 2 ( пер ( 2 ) − 1 ) 2 ⋯ 2 пер ( 2 ) − 1 ⋅ 2 ( пер ( 2 ) − 1 ) 3 ⋯ . {displaystyle e = {frac {2cdot 2 ^ {(ln (2) -1) ^ {2}} cdots} {2 ^ {ln (2) -1} cdot 2 ^ {(ln (2) -1) ^ {3}} cdots}}.} В более общем случае, если 1 < B < е 2 (который включает B = 2, 3, 4, 5, 6 или 7), то
е = B ⋅ B ( пер ( B ) − 1 ) 2 ⋯ B пер ( B ) − 1 ⋅ B ( пер ( B ) − 1 ) 3 ⋯ . {displaystyle e = {frac {Bcdot B ^ {(ln (B) -1) ^ {2}} cdots} {B ^ {ln (B) -1} cdot B ^ {(ln (B) -1) ^ {3}} cdots}}.} Как предел последовательности
Число е предел из нескольких бесконечные последовательности :
е = Lim п → ∞ п ⋅ ( 2 π п п ! ) 1 / п {displaystyle e = lim _ {n o infty} ncdot left ({frac {sqrt {2pi n}} {n!}} ight) ^ {1 / n}} е = Lim п → ∞ п п ! п {displaystyle e = lim _ {n o infty} {frac {n} {sqrt [{n}] {n!}}}} Формула Стирлинга ).Симметричный предел,[7]
е = Lim п → ∞ [ ( п + 1 ) п + 1 п п − п п ( п − 1 ) п − 1 ] {displaystyle e = lim _ {n o infty} left [{frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {n ^ {n}}}} - {frac {n ^ {n}} {(n- 1) ^ {n-1}}} ight]} может быть получен путем манипулирования базовым определением предела е
Следующие два определения являются прямыми следствиями теорема о простых числах [8]
е = Lim п → ∞ ( п п # ) 1 / п п {displaystyle e = lim _ {нет информации} (p_ {n} #) ^ {1 / p_ {n}}} куда п п {displaystyle p_ {n}} п th основной и п п # {displaystyle p_ {n} #} первобытный из п й премьер.
е = Lim п → ∞ п π ( п ) / п {displaystyle e = lim _ {нет информации} n ^ {pi (n) / n}} куда π ( п ) {displaystyle pi (n)} функция подсчета простых чисел .
Также:
е Икс = Lim п → ∞ ( 1 + Икс п ) п . {displaystyle e ^ {x} = lim _ {n o infty} left (1+ {frac {x} {n}} ight) ^ {n}.} В частном случае, когда Икс = 1 {displaystyle x = 1}
е = Lim п → ∞ ( 1 + 1 п ) п . {displaystyle e = lim _ {n o infty} left (1+ {frac {1} {n}} ight) ^ {n}.} Соотношение факториал п ! {displaystyle n!} перестановки множества заказов S с мощность п {displaystyle n} психическое расстройство функция ! п {displaystyle! n} е {displaystyle e} п {displaystyle n}
е = Lim п → ∞ п ! ! п . {displaystyle e = lim _ {n o infty} {frac {n!} {! n}}.} В тригонометрии
Тригонометрически, е гиперболические функции ,
е Икс = грех ( Икс ) + шиш ( Икс ) , {displaystyle e ^ {x} = sinh (x) + cosh (x),} в Икс = 1
Примечания
^ Сандифер, Эд (февраль 2006 г.). "Как это сделал Эйлер: Кто доказал е иррационально? " (PDF) . MAA Online. Получено 2017-04-23 . ^ Гал Раайони; и другие. (Июн 2019). «Машина Рамануджана: автоматически генерируемые гипотезы о фундаментальных константах». arXiv :1907.00205 Bibcode :2019arXiv190700205R . ^ Браун, Стэн (27 августа 2006 г.). "Это тоже закон - законы логарифмов" . Дубовые дорожные системы. Архивировано из оригинал на 2008-08-13. Получено 2008-08-14 . ^ Формулы 2–7: Х. Дж. Братья , Улучшение сходимости приближения ряда Ньютона для е , Математический журнал колледжа , Vol. 35, № 1, (2004), стр. 34–39. ^ Дж. Сондоу, Более быстрое произведение для пи и новый интеграл для ln pi / 2 , Амер. Математика. Ежемесячно 112 (2005) 729–734. ^ Дж. Гильера и Дж. Сондоу, Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитические продолжения трансцендентной теории Лерха. ,Рамануджанский журнал 16 (2008), 247–270. ^ Х. Дж. Братья и Дж. А. Нокс, Новые приближения логарифмической постоянной в замкнутой форме е , Математический интеллект , Vol. 20, № 4, (1998), стр. 25–29.^ С. М. Руис 1997 
![{displaystyle e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, ldots, 1,2n, 1, ldots].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37364b7a3cc7180d6091eeda8950d69e89a8e8db)
![{displaystyle e = [1; 1 / 2,12,5,28,9,44,13,60,17, ldots, 4 (4n-1), 4n + 1, ldots].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853d39eed966a9342fe0b593b0327687a8c8f86f)
![e = left [сумма _ {{k = 0}} ^ {infty} {frac {1-2k} {(2k)!}} ight] ^ {{- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fed598ba8fe6acd4dae74a3348d7780f1b1e07)
![e = left [сумма _ {{k = 0}} ^ {infty} {frac {4k + 3} {2 ^ {{2k + 1}}, (2k + 1)!}} ight] ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26c23d9900e39fbd0c5a8062a393db51ebc445f)
![e = lim _ {{n o infty}} {frac {n} {{sqrt [{n}] {n!}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310afedad5e855a28eb0d1b232a29031bd682548)
![e = lim _ {{n o infty}} left [{frac {(n + 1) ^ {{n + 1}}}} {n ^ {n}}} - {frac {n ^ {n}} {( n-1) ^ {{n-1}}}} полет]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cffa4b98fac483870fb5da1d93940ef414d8319)
