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Wert des Lorentz-Faktors (γ) relativ zur Geschwindigkeit (v) mit (c) als Lichtgeschwindigkeit.

Das Lorentzfaktor ist der Faktor, um den in der Relativitätstheorie das Zeitdilatation und der Längenkontraktion wird beschrieben. Der Faktor, benannt nach dem niederländischen Physiker Hendrik Lorentz, ist definiert als:

${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-({frac {v}{c}})^{2}}}}}$.

Darin ist v das Geschwindigkeit eines Objekts relativ zu einem Bezugssystem und c das Lichtgeschwindigkeit (2,998 · 10⁸ Frau). Für Geschwindigkeiten, die sich der Lichtgeschwindigkeit nähern, ${Displaystil-Gamma }$ ins Unendliche und für Geschwindigkeiten größer als Lichtgeschwindigkeit wird es imaginär. Dies hängt direkt damit zusammen, dass sich kein Objekt schneller als das Licht fortbewegen kann.

Der Faktor ${Displaystil-Gamma }$ erscheint im Lorentz-Transformationen, die die Grundlage für die spezielle Relativitätstheorie. Infolgedessen kommt dieser Faktor in dieser Theorie häufig vor, wie in der Ausdrücke vor dem Zeitdilatation und Längenkontraktion.

Der Faktor ${Displaystil-Gamma }$ kann geometrisch als das Verhältnis der Hypotenuse und einer rechtwinkligen Seite eines rechtwinkligen Dreiecks dargestellt werden, wenn das Verhältnis der Hypotenuse und der anderen rechtwinkligen Seite das Verhältnis zwischen c und v ist. Siehe auch Zahl bei der Herleitung der Formel für die Zeitdilatation.

Energie

Ein weiteres Beispiel ist die Gesamtenergie ${Anzeigestil E}$ eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit bewegt ${Anzeigestil v}$ bewegt:

${displaystyle E=gamma mc^{2}}$

wahr ${displaystyle m}$ das Restmenge des Teilchens. In der Praxis wird die Energie eines Teilchens oft auf das Energieäquivalent seiner Ruhemasse normiert (${displaystyle mc^{2}}$), das ist einfach ${Displaystil-Gamma }$ ergibt. Deshalb, ${Displaystil-Gamma }$ auch als normalisierte Energie oder Energie eines Teilchens kurz bezeichnet.

Für ein stationäres Teilchen ist die Energie gleich

${displaystyle E=mc^{2}}$

die Berühmten Masse-Energie-Beziehung von Albert Einstein.

Für Geschwindigkeiten, die weit unter der Lichtgeschwindigkeit liegen, ${Displaystil-Gamma }$ angesprochen werden mit

${displaystyle gamma ca. 1 {frac {1}{2}}left({frac {v}{c}}ight)^{2}}$

und die Energie eines Teilchens mit geringer Geschwindigkeit ist also:

${displaystyle E=gamma mc^{2}=mc^{2} {frac {1}{2}}{frac {mc^{2}v^{2}}{c^{2}}}=mc^ {2} {frac {1}{2}}mf^{2}}$

Der zweite Term ist der bekannte klassisch Ausdruck für die kinetische Energie eines Teilchens mit Masse ${displaystyle m}$ und Geschwindigkeit ${Anzeigestil v}$. Die Energie des Teilchens geht ins Unendliche, wenn sich seine Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit nähert. Es ist daher (für ein Teilchen mit Masse) unmöglich, die Lichtgeschwindigkeit zu erreichen.

Transformation

Ein Objekt, das sich mit der Geschwindigkeit 'v' bewegt, hat den Lorentz-Faktor ${Displaystil-Gamma (v)=1/{sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$. Wenn das gleiche Objekt von einem Beobachter beobachtet wird, der mit einer Geschwindigkeit Sie bewegt sich in die gleiche Richtung wie das Objekt (in eine andere Trägheitsrahmen so), das Objekt hat eine andere Geschwindigkeit ${Anzeigestil v'}$ und damit auch noch ein lorentzfacor ${Displaystil-Gamma (v')=1/{sqrt {1-(v'/c)^{2}}}}$. Sie kann auch direkt durch die Transformation von bestimmt werden relativistische Geschwindigkeit (${displaystyle v'=(v-u)/(1-uv/c^{2})}$):

${displaystyle gamma (v')={frac {1}{sqrt {1-(v'/c)^{2}}}}={frac {1}{sqrt {1-({frac {v/cu/ c}{1-uv/c^{2}}})^{2}}}}={frac {1}{sqrt {frac {(1-uv/c^{2})^{2}-( v/cu/c)^{2}}{1-uv/c^{2}}}}}}$

${displaystyle ={frac {1}{sqrt {frac {(1-(uv/c)^{2}-(v/c)^{2}-(u/c)^{2}}{1-uv /c^{2}}}}}={frac {1-uv/c^{2}}{sqrt {(1-(v/c)^{2})(1-(u/c)^{ 2})}}}=gamma (v)gamma (u)(1-uv/c^{2})}$

Der Lorentz-Faktor im neuen System ist also gleich dem Lorentz-Faktor im alten System multipliziert mit dem Lorentz-Faktor des Beobachters und einem Faktor, der auch bei der Geschwindigkeitstransformation vorkommt. Diese Transformation ist notwendig, um Größen wie Masse, Impuls und Energie zwischen Systemen umzuwandeln.

Wenn sich Objekt und Beobachter nicht in die gleiche Richtung bewegen, muss die Komponente v berücksichtigt werden_e neben Sie und die Komponente v_l senkrecht zu Sie. Auch für die zweite Komponente, eine Transformation des Tweedes relativistische Geschwindigkeit. Die Transformation des Lorentzfaktors erfolgt nun wie folgt:

${displaystyle gamma (v')={frac {1}{sqrt {1-({frac {v_{e}/cu/c}{1-uv_{e}/c^{2}}})^{2 }-({frac {{sqrt {(1-(u/c)^{2}}}v_{l}/c}{1-uv_{e}/c^{2}}})^{2} }}}}$

${displaystyle ={frac {1-uv_{e}/c^{2}}{sqrt {(1-(v_{e}/c)^{2}-(v_{l}/c)^{2} )(1-(u/c)^{2})}}}=gamma (v)gamma (u)(1-uv_{e}/c^{2})}$

Der Ausdruck bleibt also derselbe. In der letzten Komponente muss jedoch nicht die Gesamtgeschwindigkeit des Objekts verwendet werden, sondern dessen Parallelkomponente.