WikiDer > Ляпуновское измерение

Lyapunov dimension

В математике динамические системы, Концепция чего-либо Ляпуновское измерение было предложено Каплан и Йорк[1] для оценки Хаусдорфово измерение из аттракторы. В дальнейшем концепция была развита и строго обоснована в ряде работ, и в настоящее время используются различные подходы к определению ляпуновской размерности. Заметим, что аттракторы с нецелой хаусдорфовой размерностью называются странные аттракторы.[2] Поскольку прямое численное вычисление хаусдорфовой размерности аттракторов часто представляет собой проблему большой численной сложности, оценки через ляпуновскую размерность получили широкое распространение.[3] после русского математика Александр Ляпунов из-за тесной связи с Показатели Ляпунова.

Определения

Рассмотрим динамическая система , где - оператор сдвига по решениям:, из ODE , , или разностное уравнение , , с непрерывно дифференцируемой вектор-функцией .Потом это фундаментальная матрица решений линеаризованной системы и обозначим через ,сингулярные значения в отношении их алгебраическая кратность, упорядоченный по убыванию для любого и .

Определение через конечную временную ляпуновскую размерность

Концепция чего-либо конечное время ляпуновской размерности и связанное с ним определение ляпуновской размерности, разработанное в работах Н. Кузнецов,[4][5] удобен для численных экспериментов, где можно наблюдать только конечное время. Рассмотрим аналог Формула Каплана – Йорка для конечных показателей Ляпунова:

относительно упорядоченного набора конечные показатели Ляпунова в момент . конечное время ляпуновской размерности динамической системы относительно инвариантный набор определяется следующим образом

В этом подходе использование аналога формулы Каплана – Йорка строго оправдывается теоремой Дуади – Остерле:[6] что доказывает, что для любого фиксированного то конечное время ляпуновской размерности для замкнутого ограниченного инвариантного множества является верхней оценкой размерности Хаусдорфа:

Ищем лучшую такую ​​оценку , измерение Ляпунова определяется следующим образом:[4][5]

Возможности изменения порядка ограничения по времени и супремума над множеством обсуждаются, например, в.[7][8]

Отметим, что указанная выше ляпуновская размерность инвариантна относительно липшицевости. диффеоморфизмы.[4][9]

Точное измерение Ляпунова

Пусть матрица Якоби в одном из положений равновесия имеют простые действительные собственные значения:,тогда

Если супремум локальных ляпуновских размерностей на глобальном аттракторе, включающем все состояния равновесия, достигается в точке равновесия, то это позволяет получить аналитическую формулу точной ляпуновской размерности глобального аттрактора (см. Соответствующие Гипотеза Идена).

Определение через подход статистической физики и эргодичность

После статистическая физика подход и предполагая эргодичностьоценивается ляпуновская размерность аттрактора[1] по предельному значению локальной ляпуновской размерности из типичный траектория, принадлежащая аттрактору. и .С практической точки зрения неукоснительное использование эргодическая теорема Оселедека, проверка того, что рассматриваемая траектория это типичный траектории, и использование соответствующих Формула Каплана – Йорка - сложная задача (см., например, обсуждения в[10]). Точные предельные значения конечных показателей Ляпунова, если они существуют и одинаковы для всех , называются абсолютный те[3] и используется в Формула Каплана – ЙоркаПримеры неукоснительного использования эргодической теории для вычисления показателей Ляпунова и размерности можно найти в.[11][12][13]

использованная литература

  1. ^ а б Каплан Дж., Йорк Дж. (1979). «Функционально-дифференциальные уравнения и приближения неподвижных точек». Хаотическое поведение многомерных разностных уравнений. Springer. С. 204–227.
  2. ^ Ruelle D .; Такенс Ф. (1971). «О природе турбулентности». Коммуникации по математической физике. 20 (3): 167–192. Bibcode:1971CMaPh..20..167R. Дои:10.1007 / bf01646553.
  3. ^ а б Фредериксон, Ф .; Kaplan, J .; Yorke, E .; Йорк, Дж. (1983). «Ляпуновская размерность странных аттракторов». Журнал дифференциальных уравнений. 49 (2): 185–207. Bibcode:1983JDE .... 49..185F. Дои:10.1016/0022-0396(83)90011-6.
  4. ^ а б c Кузнецов, Н.В. (2016). «Ляпуновская размерность и ее оценка методом Леонова». Письма о физике A. 380 (25–26): 2142–2149. arXiv:1602.05410. Bibcode:2016ФЛА..380.2142К. Дои:10.1016 / j.physleta.2016.04.036.
  5. ^ а б Кузнецов, Н.В .; Леонов, Г.А .; Мокаев, Т.Н .; Прасад, А .; Шримали, доктор медицины (2018). «Конечная ляпуновская размерность и скрытый аттрактор системы Рабиновича». Нелинейная динамика. 92 (2): 267–285. arXiv:1504.04723. Дои:10.1007 / s11071-018-4054-z.
  6. ^ Douady, A .; Остерле, Дж. (1980). «Измерение Хаусдорфа аттракционов». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A. 290 (24): 1135–1138.
  7. ^ Константин, П .; Foias, C .; Temam, R. (1985). «Аттракторы, представляющие турбулентные потоки». Мемуары Американского математического общества. 53 (314): 1–67. Дои:10.1090 / memo / 0314.
  8. ^ Eden, A .; Foias, C .; Темам, Р. (1991). «Локальные и глобальные показатели Ляпунова». Журнал динамики и дифференциальных уравнений. 3 (1): 133–177. Bibcode:1991JDDE .... 3..133E. Дои:10.1007 / bf01049491.
  9. ^ Кузнецов, Н .; Алексеева, Т .; Леонов, Г. (2016). «Инвариантность показателей Ляпунова и размерность Ляпунова для регулярных и нерегулярных линеаризаций». Нелинейная динамика. 85 (1): 195–201. arXiv:1410.2016. Дои:10.1007 / s11071-016-2678-4.
  10. ^ П. Цвитанович; Р. Артузо; Р. Майнери; Г. Таннер и Г. Ваттай (2017). Хаос: классический и квантовый (PDF). Институт Нильса Бора.
  11. ^ Ледраппье, Ф. (1981). «Некоторые отношения между размерностью и показателями Ляпунова». Коммуникации по математической физике. 81 (2): 229–238. Bibcode:1981CMaPh..81..229L. Дои:10.1007 / bf01208896.
  12. ^ Benedicks, M .; Янг, Л.-С. (1993). «Меры Синая – Боуэна – Рюэля для некоторых отображений Хенона». Inventiones Mathematicae. 112 (1): 541–576. Дои:10.1007 / bf01232446.
  13. ^ Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2021). Оценка размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Чам: Спрингер.