WikiDer > Основная гипотеза теории Ивасавы

В математика, то основная гипотеза теории Ивасавы это глубокие отношения между п-адический L-функции и идеальные группы классов из циклотомические поля, доказано Кенкичи Ивасава для простых чисел, удовлетворяющих Гипотеза Куммера – Вандивера и доказано для всех простых чисел Мазуром и Уайлсом (1984). В Теорема Эрбрана – Рибета. и Гипотеза Гра оба являются простыми следствиями основной гипотезы. Есть несколько обобщений основной гипотезы, чтобы полностью реальные поля, Поля CM, эллиптические кривые, и так далее.

Мотивация

Ивасава (1969a) частично мотивировано аналогией с Описание Вейля дзета-функции алгебраической кривой над конечное поле в терминах собственных значений Эндоморфизм Фробениуса на его Якобиева многообразие. По этой аналогии

• Действие Фробениуса соответствует действию группы Γ.
• Якобиан кривой соответствует модулю Икс над Γ, определенным в терминах групп классов идеалов.
• Дзета-функция кривой над конечным полем соответствует п-адический L-функция.
• Теорема Вейля, связывающая собственные значения Фробениуса с нулями дзета-функции кривой, соответствует основной гипотезе Ивасавы, касающейся действия Алгебра Ивасавы на Икс к нулям п-адическая дзета-функция.

История

Основная гипотеза теории Ивасавы была сформулирована как утверждение, что два метода определения п-адический L-функции (по теории модулей, по интерполяции) должны совпадать, насколько это четко определено. Это было доказано Мазур и Уайлс (1984) за Q, и для всех поля полностью действительных чисел к Уайлс (1990). Эти доказательства были построены по образцу Кен Рибетдоказательство обратного к теореме Эрбрана ( Теорема Эрбрана – Рибета.).

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура – ​​Уайлса, используя Метод Тейна и Колывагина Системы Эйлера, описанный в Ланг (1990) и Вашингтон (1997), а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.^[1]

В 2014, Кристофер Скиннер и Эрик Урбан доказали несколько случаев основных гипотез для большого класса модульные формы.^[2] Как следствие, для модульная эллиптическая кривая над рациональное число, они доказывают, что исчезновение Хассе-Вайль L-функция L(E, s) из E в s = 1 следует, что p-адический Группа Сельмера из E бесконечно. В сочетании с теоремами Валовой-Загир и Колывагин, это дало условное доказательство (на Гипотеза Тейта – Шафаревича) гипотезы о том, что E имеет бесконечно много рациональных точек тогда и только тогда, когда L(E, 1) = 0, (слабая) форма Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера. Эти результаты были использованы Манджул Бхаргава, Скиннер и Вэй Чжан чтобы доказать, что положительная доля эллиптических кривых удовлетворяет Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера.^[3][4]

Заявление

• п - простое число.
• F_п это поле Q(ζ) где ζ - корень из единицы порядка п^п+1.
• Γ - наибольшая подгруппа абсолютной группы Галуа группы F_∞ изоморфен п-адические целые числа.
• γ - топологическая образующая Γ
• L_п это п-Поле класса Гильберта F_п.
• ЧАС_п группа Галуа Gal (L_п/F_п), изоморфная подгруппе элементов группы классов идеалов F_п чей порядок - сила п.
• ЧАС_∞ является обратным пределом групп Галуа ЧАС_п.
• V это векторное пространство ЧАС_∞⊗_ZпQ_п.
• ω - это Teichmüller персонаж.
• V^я является ω^я собственное подпространство V.
• час_п(ω^я,Т) - характеристический многочлен γ, действующий в векторном пространстве V^я
• L_п это p-адическая L функция с L_п(ω^я,1–k) = –B_k(ω^я–k)/k, куда B это обобщенное число Бернулли.
• ты - единственное p-адическое число, для которого γ (ζ) = ζ^ты для всех p-степенных корней из единицы ζ
• грамм_п это степенной ряд с грамм_п(ω^я,ты^s–1) = L_п(ω^я,s)

Основная гипотеза теории Ивасавы, доказанная Мазуром и Уайлсом, гласит, что если я нечетное целое число, не конгруэнтное 1 mod п–1 то идеалы Z_п – Т - создано час_п(ω^я,Т) и грамм_п(ω^1–я,Т) равны.

Примечания

Источники