WikiDer > Марковское ядро

Markov kernel

В теория вероятности, а Марковское ядро (также известный как стохастическое ядро или же ядро вероятности) - отображение, которое в общей теории Марковские процессы, играет роль матрица перехода в теории марковских процессов с конечный пространство состояний.[1]

Формальное определение

Позволять и быть измеримые пространства. А Марковское ядро с источником и цель это карта со следующими свойствами:

  1. Для каждого (фиксированного) , карта является -измеримый
  2. Для каждого (фиксированного) , карта это вероятностная мера на

Другими словами, он ассоциируется с каждой точкой а вероятностная мера на такое, что для каждого измеримого множества , карта измерима относительно -алгебра [2].

Примеры

Простое случайное блуждание на целых числах

Брать , и набор мощности из ). Тогда марковское ядро ​​полностью определяется вероятностью, которую оно приписывает одноэлементному множеству с для каждого :

.

Теперь случайное блуждание что с вероятностью идет вправо и влево с вероятностью определяется

куда это Дельта Кронекера. Вероятности перехода для случайного блуждания эквивалентны марковскому ядру.

Общий Марковские процессы со счетным пространством состояний

В более общем плане возьмите и как счетные, так и . Опять же, марковское ядро ​​определяется вероятностью, которую оно присваивает одноэлементным множествам для каждого

,

Мы определяем марковский процесс, определяя вероятность перехода где числа определить (счетный) стохастическая матрица т.е.

Затем мы определяем

.

Снова вероятность перехода, стохастическая матрица и марковское ядро ​​эквивалентны переформулировкам.

Марковское ядро, определяемое функцией ядра и мерой

Позволять быть мера на , и а измеримая функция с уважением к товар -алгебра такой, что

,

тогда то есть отображение

определяет марковское ядро.[3]. Этот пример обобщает пример счетного марковского процесса, где был счетная мера. Кроме того, он включает другие важные примеры, такие как ядра свертки, в частности ядра Маркова, определенные уравнением теплопроводности. Последний пример включает Гауссово ядро на с стандартная мера Лебега и

.

Измеримые функции

Брать и произвольные измеримые пространства, и пусть - измеримая функция. Теперь определим т.е.

для всех .

Обратите внимание, что функция индикатора является -измеримый для всех если только измеримо.

Этот пример позволяет нам думать о марковском ядре как об обобщенной функции со (в общем случае) случайным, а не определенным значением.

Процесс Гальтона – Ватсона

В качестве менее очевидного примера возьмем , и реальные числа со стандартной сигма-алгеброй Наборы Бореля. потом

с i.i.d. случайные переменные (обычно со средним 0) и где - индикаторная функция. Для простого случая монета подбрасывает это моделирует различные уровни Доска гальтона.

Состав марковских ядер и марковская категория.

Учитывая измеримые пространства , и , и вероятностные ядра и , мы можем определить композицию к

Композиция ассоциативна по Теорема Тонелли и тождественная функция, рассматриваемая как марковское ядро ​​(т.е. дельта-мера единица для этой композиции.

Эта композиция определяет структуру категория на измеримых пространствах с марковскими ядрами как морфизмами, впервые определенными Ловером[4]. Категория имеет пустой набор в качестве начального объекта и набор из одной точки. как конечный объект.

Пространство вероятностей, определяемое распределением вероятностей и марковским ядром

Вероятностная мера на измеримом пространстве это то же самое, что и морфизм в марковской категории также обозначается . По составу вероятностное пространство и вероятностное ядро определяет вероятностное пространство . Это конкретно определяется

Характеристики

Полупрямой продукт

Позволять быть вероятностным пространством и Марковское ядро ​​из некоторым . Тогда существует единственная мера на , такое, что:

Обычное условное распределение

Позволять быть Борелевское пространство, а -значная случайная величина на пространстве мер и суб--алгебра. Тогда существует марковское ядро из к , так что это версия условное ожидание для каждого , т.е.

Это называется регулярным условным распределением данный и не определен однозначно.

Обобщения

Ядра перехода обобщить марковские ядра в том смысле, что для всех , карта

может быть любой (неотрицательной) мерой, не обязательно вероятностной.

Рекомендации

  1. ^ Рейсс, Р. Д. (1993). «Курс точечных процессов». Серии Спрингера в статистике. Дои:10.1007/978-1-4613-9308-5. ISBN 978-1-4613-9310-8. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  2. ^ Кленке, Ахим. Теория вероятностей: всеобъемлющий курс (2-е изд.). Springer. п. 180. Дои:10.1007/978-1-4471-5361-0.
  3. ^ Эрхан, Цинлар (2011). Вероятность и стохастика. Нью-Йорк: Спрингер. С. 37–38. ISBN 978-0-387-87858-4.
  4. ^ Ф. В. Лавер (1962). «Категория вероятностных отображений» (PDF).
  • Бауэр, Хайнц (1996), Теория вероятности, де Грюйтер, ISBN 3-11-013935-9
§36. Ядра и полугруппы ядер