WikiDer > Матрица состояния продукта - Википедия

Графическое обозначение Пенроуза (обозначение тензорной диаграммы) состояния матричного произведения пяти частиц.

Состояние продукта матрицы (MPS) это квантовое состояние множества частиц, записанных в следующем виде:

${ displaystyle | Psi rangle = sum _ { {s }} { text {Tr}} [A_ {1} ^ {(s_ {1})} A_ {2} ^ {(s_ {2 })} cdots A_ {N} ^ {(s_ {N})}] | s_ {1} s_ {2} ldots s_ {N} rangle,}$

куда ${ displaystyle A_ {i} ^ {(s_ {i})}}$ находятся сложный, квадратные матрицы порядка ${ displaystyle chi}$ (это измерение называется локальным измерением). Индексы ${ displaystyle s_ {i}}$ переходить по состояниям в вычислительной базе. За кубиты, это ${ displaystyle s_ {i} in {0,1 }}$. Для кудитов (систем уровня d) это ${ displaystyle s_ {i} in {0,1, ldots, d-1 }}$.

Это особенно полезно при работе с основные состояния одномерных квантовых спиновых моделей (например, Модель Гейзенберга (квантовая)) .Параметр ${ displaystyle chi}$ относится к запутанность между частицами. В частности, если состояние состояние продукта (т.е. совсем не запутано), его можно описать как состояние матричного произведения с ${ displaystyle chi = 1}$.

Для состояний, которые трансляционно симметричны, мы можем выбрать:

${ Displaystyle A_ {1} ^ {(s)} = A_ {2} ^ {(s)} = cdots = A_ {N} ^ {(s)} Equiv A ^ {(s)}.}$

В общем, каждое состояние можно записать в форме MPS (с ${ displaystyle chi}$ экспоненциально растет с числом частиц N). Однако MPS практичны, когда ${ displaystyle chi}$ мала - например, не зависит от количества частиц. За исключением небольшого количества конкретных случаев (некоторые из них упомянуты в разделе Примеры), это невозможно, хотя во многих случаях это хорошее приближение.

Разложение MPS не уникально. Для ознакомления см. ^[1] и.^[2] В контексте конечных автоматов см.^[3] Чтобы узнать о графическом обосновании тензорных сетей, см. Введение.^[4]

Получение MPS

Один из методов получения MPS-представления квантового состояния - использовать Разложение Шмидта N − 1 раз. В качестве альтернативы, если квантовая схема который подготавливает множество состояний тела, можно сначала попытаться получить представление схемы оператором матричного произведения. Локальные тензоры в операторе матричного произведения будут тензорами четырех индексов. Локальный тензор MPS получается путем сжатия одного физического индекса локального тензора MPO с состоянием, которое вводится в квантовую схему в этом узле.

Примеры

Штат Гринбергера – Хорна – Цайлингера

Штат Гринбергера – Хорна – Цайлингера, который для N частицы можно записать как суперпозиция из N нули и N те

${ displaystyle | mathrm {GHZ} rangle = { frac {| 0 rangle ^ { otimes N} + | 1 rangle ^ { otimes N}} { sqrt {2}}}}$

может быть выражено как матричное состояние продукта с точностью до нормализации с

${ Displaystyle A ^ {(0)} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {bmatrix}} quad A ^ {(1)} = { begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 1 end { bmatrix}},}$

или, что то же самое, с использованием обозначений из:^[3]

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} | 0 rangle & 0 0 & | 1 rangle end {bmatrix}}.}$

В этой нотации используются матрицы с элементами, являющимися векторами состояний (вместо комплексных чисел), а когда умножающие матрицы с помощью тензорное произведение для его записей (вместо произведения двух комплексных чисел). Такая матрица строится как

${ Displaystyle A Equiv | 0 rangle A ^ {(0)} + | 1 rangle A ^ {(1)} + ldots + | d-1 rangle A ^ {(d-1)}.}$

Обратите внимание, что тензорное произведение не коммутативный.

В этом конкретном примере продукт двух А матрицы это:

${ displaystyle AA = { begin {bmatrix} | 00 rangle & 0 0 & | 11 rangle end {bmatrix}}.}$

Состояние W

Состояние W, т.е. суперпозиция всех вычислительных базисных состояний веса Хэмминга один. Несмотря на то, что состояние симметрично по перестановкам, его простейшее представление MPS - нет.^[1] Например:

${ displaystyle A_ {1} = { begin {bmatrix} | 0 rangle & 0 | 0 rangle & | 1 rangle end {bmatrix}} quad A_ {2} = { begin {bmatrix} | 0 rangle & | 1 rangle 0 & | 0 rangle end {bmatrix}} quad A_ {3} = { begin {bmatrix} | 1 rangle & 0 0 & | 0 rangle end {bmatrix }}.}$

AKLT модель

Волновая функция основного состояния AKLT, которая является историческим примером подхода MPS:^[5] соответствует выбору^[6]

${ displaystyle A ^ {+} = { sqrt { frac {2} {3}}} sigma ^ {+} = { begin {bmatrix} 0 & { sqrt {2/3}} 0 & 0 end {bmatrix}}}$

${ displaystyle A ^ {0} = { frac {-1} { sqrt {3}}} sigma ^ {z} = { begin {bmatrix} -1 / { sqrt {3}} & 0 0 & 1 / { sqrt {3}} end {bmatrix}}}$

${ displaystyle A ^ {-} = - { sqrt { frac {2} {3}}} sigma ^ {-} = { begin {bmatrix} 0 & 0 - { sqrt {2/3} } & 0 end {bmatrix}}}$

где ${ displaystyle sigma { text {'s}}}$ находятся Матрицы Паули, или же

${ displaystyle A = { frac {1} { sqrt {3}}} { begin {bmatrix} - | 0 rangle & { sqrt {2}} | + rangle - { sqrt {2 }} | - rangle & | 0 rangle end {bmatrix}}.}$

Модель Маджумдара – Гоша

Основное состояние Маджумдара – Гоша может быть записано как MPS с

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 0 & left | uparrow right rangle & left | downarrow right rangle { frac {-1} { sqrt {2}}} left | downarrow right rangle & 0 & 0 { frac {1} { sqrt {2}}} left | uparrow right rangle & 0 & 0 end {bmatrix}}.}$

Смотрите также

• Ренормализационная группа матрицы плотности
• Вариационный метод (квантовая механика)
• Перенормировка
• Цепь Маркова

Рекомендации

внешняя ссылка

• Обзорная статья с открытым исходным кодом, посвященная тензорным сетевым алгоритмам, приложениям и программному обеспечению.
• Состояние матричных состояний продукта - Physics Stack Exchange
• Практическое введение в тензорные сети: состояния продуктов матрицы и состояния спроектированных запутанных пар
• Махание руками и интерпретирующий танец: вводный курс по тензорным сетям
• В двух словах о тензорных сетях: введение в тензорные сети