WikiDer > Максимальная функция

Maximal function

Максимальные функции появляются во многих формах в гармонический анализ (площадь математика). Одним из наиболее важных из них является Максимальная функция Харди – Литтлвуда. Они играют важную роль в понимании, например, свойств дифференцируемости функций, сингулярных интегралов и уравнений в частных производных. Они часто обеспечивают более глубокий и упрощенный подход к пониманию проблем в этих областях, чем другие методы.

Максимальная функция Харди – Литтлвуда

В своей оригинальной статье G.H. Харди и Дж. Э. Литтлвуд объяснил их максимальное неравенство на языке крикет средние. Учитывая функцию ж определено на рп, нецентрированная максимальная функция Харди – Литтлвуда Mf из ж определяется как

на каждом Икс в рп. Здесь супремум берется по шарам B в рп которые содержат точку Икс и |B| обозначает мера из B (в данном случае кратное радиусу шара в степени п). Можно также изучить центрированную максимальную функцию, где супремум берется только по шарам B у которых есть центр Икс. На практике разница между ними невелика.

Основные свойства

Следующие утверждения являются центральными для полезности максимального оператора Харди – Литтлвуда.[1]

  • а) для жLп(рп) (1 ≤ п ≤ ∞), Mf конечно почти всюду.
  • (б) Если жL1(рп), то существует c такое, что для всех α> 0
  • (c) Если жLп(рп) (1 < п ≤ ∞), то MfLп(рп) и
где А зависит только от п и c.

Свойство (б) называется оценкой слабого типа Mf. Для интегрируемой функции это соответствует элементарному Неравенство Маркова; Однако, Mf никогда не интегрируется, если ж = 0 почти всюду, так что доказательство слабой оценки (б) для Mf требует менее элементарного аргумента из геометрической теории меры, такого как Лемма Витали о покрытии. Свойство (c) сообщает оператору M ограничен Lп(рп); это очевидно верно, когда п = ∞, так как мы не можем взять среднее от ограниченной функции и получить значение, превышающее наибольшее значение функции. Свойство (c) для всех остальных значений п затем можно вывести из этих двух фактов аргумент интерполяции.

Стоит отметить, что (c) не выполняется для п = 1. Это легко доказать, вычислив Mχ, где χ - характеристическая функция единичного шара с центром в нуле.

Приложения

Максимальный оператор Харди – Литтлвуда встречается во многих местах, но некоторые из его наиболее заметных применений находятся в доказательствах Теорема Лебега дифференцирования и Теорема Фату и в теории сингулярные интегральные операторы.

Не касательные максимальные функции

Не касательная максимальная функция принимает функцию F определяется на верхней полуплоскости

и производит функцию F * определено на рп через выражение

Обратите внимание, что для фиксированного Икс, набор конус в с вершиной в (Икс, 0) и ось, перпендикулярная границе рп. Таким образом, не касательный максимальный оператор просто берет верхнюю грань функции F над конусом с вершиной на границе рп.

Приближения идентичности

Одна особенно важная форма функций F в котором важно изучение не касательной максимальной функции, формируется из приближение к тождеству. То есть фиксируем интегрируемую гладкую функцию Φ на рп такой, что

и установить

для т > 0. Тогда определим

Можно показать[1] это

и, следовательно, получаем, что сходится к ж в Lп(рп) для всех 1 ≤ п <∞. Такой результат можно использовать, чтобы показать, что гармоническое продолжение Lп(рп) к верхней полуплоскости не касательно сходится к этой функции. Более общие результаты могут быть получены при замене лапласиана эллиптическим оператором аналогичными методами.

Более того, с некоторыми соответствующими условиями на , можно получить это

.

Точная максимальная функция

Для локально интегрируемой функции ж на рп, точная максимальная функция определяется как

для каждого Икс в рп, где супремум берется по всем шарам (красиво) B и интегральное среднее над мячом .[2]

С помощью точной функции можно получить точечное неравенство относительно сингулярные интегралы. Предположим, у нас есть оператор Т который ограничен L2(рп), так что имеем

для всех гладко и компактно поддерживается ж. Предположим также, что мы можем реализовать Т как свертка против ядра K в том смысле, что всякий раз, когда ж и г гладкие и имеют непересекающуюся опору

Наконец, мы предполагаем, что ядро ​​имеет размер и гладкость. K:

когда . Тогда для фиксированного р > 1 имеем

для всех Икс в рп.[1]

Максимальные функции в эргодической теории

Позволять - вероятностное пространство, и Т : ИксИкс сохраняющий меру эндоморфизм Икс. Максимальная функция жL1(Икс,м) является

Максимальная функция ж проверяет слабую оценку, аналогичную Максимальное неравенство Харди – Литтлвуда:

это повторение максимальная эргодическая теорема.

Максимальная функция мартингейла

Если это мартингейл, мы можем определить максимальную функцию мартингала как . Если существует, многие результаты справедливы в классическом случае (например, ограниченность в и слабые неравенство) относительно и .[3]

использованная литература

  • Л. Графакос, Классический и современный анализ Фурье, Pearson Education, Inc., Нью-Джерси, 2004 г.
  • Э. М. Штейн, Гармонический анализ, Princeton University Press, 1993 г.
  • Э. М. Штейн, Сингулярные интегралы и дифференцируемость функций., Princeton University Press, 1971 г.
  • Э. М. Штейн, Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли, Princeton University Press, 1970.

Заметки

  1. ^ а б c Штейн, Элиас (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.
  2. ^ Гракакос, Лукас (2004). «7». Классический и современный анализ Фурье. Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
  3. ^ Штейн, Элиас М. (2004). "Глава IV: Общая теория Литтлвуда-Пэли". Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.