WikiDer > Среднее расстояние между частицами - Википедия

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Среднее расстояние между частицами» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Январь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Среднее расстояние между частицами (или среднее расстояние между частицами) - это среднее расстояние между микроскопическими частицами (обычно атомы или же молекулы) в макроскопическом теле.

Двусмысленность

Из самых общих соображений, среднее расстояние между частицами пропорционально размеру объема, приходящегося на одну частицу. ${ displaystyle 1 / n}$, т.е.

${ displaystyle langle r rangle sim 1 / n ^ {1/3},}$

куда ${ Displaystyle п = Н / В}$ это плотность частиц. Однако, за исключением нескольких простых случаев, таких как идеальный газ модели, точные вычисления коэффициента пропорциональности аналитически невозможны. Поэтому часто используются приближенные выражения. Одна из таких оценок - Радиус Вигнера-Зейтца

${ displaystyle left ({ frac {3} {4 pi n}} right) ^ {1/3},}$

что соответствует радиусу сферы, имеющей объем на частицу ${ displaystyle 1 / n}$. Другое популярное определение -

${ Displaystyle 1 / п ^ {1/3}}$,

соответствующая длине ребра куба с объемом на частицу ${ displaystyle 1 / n}$. Эти два определения различаются примерно в разы. ${ displaystyle 1.61}$, поэтому нужно проявлять осторожность, если в статье не удается точно определить параметр. С другой стороны, он часто используется в качественных утверждениях, где такой числовой фактор либо не имеет значения, либо играет незначительную роль, например,

• "потенциальная энергия ... пропорциональна некоторой степени n расстояния между частицами r" (Теорема вириала)
• «расстояние между частицами намного больше, чем тепловая длина волны де Бройля» (Кинетическая теория)

Идеальный газ

Распределение ближайших соседей

PDF расстояний NN в идеальном газе.

Мы хотим рассчитать функция распределения вероятностей расстояния до ближайшего соседа (NN) частицы. (Проблема была впервые рассмотрена Пол Герц;^[1] для современного вывода см., например,.^[2]) Предположим ${ displaystyle N}$ частицы внутри сферы, имеющей объем ${ displaystyle V}$, так что ${ Displaystyle п = Н / В}$. Обратите внимание, что поскольку частицы в идеальном газе не взаимодействуют, вероятность найти частицу на определенном расстоянии от другой частицы равна вероятности найти частицу на том же расстоянии от любой другой точки; мы будем использовать центр сферы.

Частица NN на расстоянии ${ displaystyle r}$ означает ровно один из ${ displaystyle N}$ частицы находятся на этом расстоянии, а остальные ${ displaystyle N-1}$ частицы находятся на больших расстояниях, т.е. находятся где-то вне сферы с радиусом ${ displaystyle r}$.

Вероятность найти частицу на расстоянии от начала координат между ${ displaystyle r}$ и ${ displaystyle r + dr}$ является${ displaystyle (4 pi r ^ {2} / V) dr}$, плюс у нас есть ${ displaystyle N}$ способов выбрать, какую частицу, в то время как вероятность найти частицу вне этой сферы равна ${ displaystyle 1-4 pi r ^ {3} / 3V}$. Искомое выражение тогда

${ displaystyle P_ {N} (r) dr = 4 pi r ^ {2} dr { frac {N} {V}} left (1 - { frac {4 pi} {3}} r ^ {3} / V right) ^ {N-1} = { frac {3} {a}} left ({ frac {r} {a}} right) ^ {2} dr left (1 - left ({ frac {r} {a}} right) ^ {3} { frac {1} {N}} right) ^ {N-1} ,}$

где мы заменили

${ displaystyle { frac {1} {V}} = { frac {3} {4 pi Na ^ {3}}}.}$

Обратите внимание, что ${ displaystyle a}$ это Радиус Вигнера-Зейтца. Наконец, взяв ${ Displaystyle N rightarrow infty}$ ограничение и использование ${ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} left (1 + { frac {1} {x}} right) ^ {x} = e}$, мы получаем

${ displaystyle P (r) = { frac {3} {a}} left ({ frac {r} {a}} right) ^ {2} e ^ {- (r / a) ^ {3 }} ,.}$

Можно сразу проверить, что

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} P (r) dr = 1 ,.}$

Пик распределения при

${ displaystyle r _ { text {peak}} = left (2/3 right) ^ {1/3} a приблизительно 0,874a ,.}$

Среднее расстояние и более высокие моменты распределения NN

${ displaystyle langle r ^ {k} rangle = int _ {0} ^ { infty} P (r) r ^ {k} dr = 3a ^ {k} int _ {0} ^ { infty } x ^ {k + 2} e ^ {- x ^ {3}} dx ,,}$

или, используя ${ Displaystyle т = х ^ {3}}$ замена,

${ displaystyle langle r ^ {k} rangle = a ^ {k} int _ {0} ^ { infty} t ^ {k / 3} e ^ {- t} dt = a ^ {k} Гамма (1 + { frac {k} {3}}) ,,}$

куда ${ displaystyle Gamma}$ это гамма-функция. Таким образом,

${ displaystyle langle r ^ {k} rangle = a ^ {k} Gamma (1 + { frac {k} {3}}) ,.}$

Особенно,

${ displaystyle langle r rangle = a Gamma ({ frac {4} {3}}) = { frac {a} {3}} Gamma ({ frac {1} {3}}) около 0,893a ,}$

Рекомендации

Смотрите также

• Радиус Вигнера-Зейтца