WikiDer > Пространство Мура (топология)

В математика, более конкретно точечная топология, а Пространство Мура это развивающийся регулярное хаусдорфово пространство. Эквивалентно топологическое пространство Икс является пространством Мура, если выполняются следующие условия:

• Любые две различные точки могут быть разделены районами, и любые закрытый набор и любой момент в его дополнять могут быть разделены районами. (Икс это регулярное хаусдорфово пространство.)
• Существует счетный коллекция открытые крышки из Икс, такое, что для любого замкнутого множества C и любой момент п в его дополнении существует такое покрытие в коллекции, что каждая окрестность п в обложке непересекающийся из C. (Икс это развиваемое пространство.)

Пространства Мура обычно интересны в математике, потому что их можно применять для получения интересных результатов. теоремы метризации. Концепция пространства Мура была сформулирована Р. Л. Мур в начале 20 века.

Примеры и свойства

1. Каждый метризуемое пространство, Икс, является пространством Мура. Если {А^(п)_Икс} - открытая крышка Икс (проиндексировано Икс в Икс) всеми шарами радиуса 1 /п, то совокупность всех таких открытых крышек, как п меняется на положительные целые числа, является развитием Икс. Поскольку все метризуемые пространства нормальны, все метрические пространства являются пространствами Мура.
2. Пространства Мура очень похожи на обычные пространства и отличаются от нормальные пространства в том смысле, что каждое подпространство пространства Мура также является пространством Мура.
3. Образ пространства Мура при инъективной непрерывной открытой карте всегда является пространством Мура. Образ регулярного пространства при инъективном непрерывном открытом отображении всегда регулярен.
4. Оба примера 2 и 3 показывают, что пространства Мура во многом похожи на регулярные пространства.
5. Ни Линия Sorgenfrey ни Самолет Соргенфри являются пространствами Мура, потому что они нормальны и не имеют счетчика секунд.
6. В Самолет Мура (также известное как пространство Немицкого) является примером неметризуемого пространства Мура.
7. Каждый метакомпакт, отделяемый, нормальное пространство Мура метризуемо. Эта теорема известна как теорема Трейлора.
8. Каждый локально компактный, локально связанное пространство, нормальное пространство Мура метризуемо. Эта теорема была доказана Ридом и Зенором.
9. Если ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}} <2 ^ {алеф _ {1}}}$, то каждые отделяемый нормальный Пространство Мура метризуемый. Эта теорема известна как теорема Джонса.

Гипотеза о нормальном пространстве Мура

Долгое время топологи пытались доказать так называемую гипотезу о нормальном пространстве Мура: каждое нормальное пространство Мура является метризуемый. Это было вдохновлено тем фактом, что все известные пространства Мура, которые не были метризуемыми, также не были нормальными. Это было бы хорошо теорема метризации. Сначала были хорошие частичные результаты; а именно свойства 7, 8 и 9, как указано в предыдущем разделе.

Здесь мы видим, что мы отбрасываем метакомпактность из теоремы Трейлора, но ценой теоретико-множественного предположения. Другой пример этого: Теорема Флейсснера что аксиома конструктивности следует, что локально компактные нормальные пространства Мура метризуемы.

С другой стороны, под Гипотеза континуума (CH), а также под Аксиома Мартина а не CH, существует несколько примеров неметризуемых нормальных пространств Мура. Ньикос доказал, что в соответствии с так называемой аксиомой расширения меры продукта (PMEA), которая требует большой кардинал, все нормальные пространства Мура метризуемы. Наконец, позже было показано, что любая модель ZFC, в которой выполняется гипотеза, подразумевает существование модели с большим кардиналом. По сути, нужны столь крупные кардиналы.

Джонс (1937) привел пример псевдонормальный Пространство Мура, которое не является метризуемым, поэтому гипотеза не может быть ослаблена таким образом.Мур сам доказал теорему о том, что коллекционная нормальная Пространство Мура метризуемо, поэтому усиление нормальности - еще один способ решить эту проблему.

Рекомендации

• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах, Контрпримеры в топологии, Dover Books, 1995. ISBN 0-486-68735-X
• Джонс, Ф. (1937), «О нормальных и вполне нормальных пространствах», Бюллетень Американского математического общества, 43 (10): 671–677, Дои:10.1090 / S0002-9904-1937-06622-5, МИСТЕР 1563615.
• Ниикос, Питер Дж. (2001), "История проблемы нормального пространства Мура", Справочник по истории общей топологии, Hist. Тополь., 3, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, стр. 1179–1212, ISBN 9780792369707, МИСТЕР 1900271.
• Исходное определение Р.Л. Мур появляется здесь:

МИСТЕР0150722 (27 # 709) Мур, Р. Л. Основы теории точечных множеств. Исправленное издание. Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. XIII Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1962 г. xi + 419 стр. (Рецензент: Ф. Бертон Джонс)

• Историческую информацию можно найти здесь:

МИСТЕР0199840 (33 # 7980) Джонс, Ф. Бертон "Метризация". Американский математический ежемесячный журнал 73 1966 571–576. (Рецензент: Р. В. Бэгли)

• Историческую информацию можно найти здесь:

МИСТЕР0203661 (34 # 3510) Бинг Р. Х. «Сложные догадки». Американский математический ежемесячный журнал 74 1967 г. 1, часть II, 56–64;

• Теорему Викери можно найти здесь:

МИСТЕР0001909 (1,317f) Викери, К. В. «Аксиомы для пространств Мура и метрических пространств». Бюллетень Американского математического общества 46, (1940). 560–564

• Эта статья включает материалы из пространства Мура на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.